ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemopu GIF version

Theorem recexprlemopu 7283
Description: The upper cut of 𝐵 is open. Lemma for recexpr 7294. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemopu ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemopu
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . 4 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
21recexprlemelu 7279 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
3 ltbtwnnqq 7071 . . . . . 6 (𝑦 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
43biimpi 119 . . . . 5 (𝑦 <Q 𝑟 → ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
5 simplr 498 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 <Q 𝑟)
6 19.8a 1534 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
71recexprlemelu 7279 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
86, 7sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
98adantlr 462 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
105, 9jca 301 . . . . . . 7 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1110expcom 115 . . . . . 6 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → ((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
1211reximdv 2486 . . . . 5 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → (∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
134, 12mpan9 276 . . . 4 ((𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1413exlimiv 1541 . . 3 (∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
152, 14sylbi 120 . 2 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
16153ad2ant3 969 1 ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 927   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  {cab 2081  wrex 2371  cop 3469   class class class wbr 3867  cfv 5049  1st c1st 5947  2nd c2nd 5948  Qcnq 6936  *Qcrq 6940   <Q cltq 6941  Pcnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7285
  Copyright terms: Public domain W3C validator