ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemopu GIF version

Theorem recexprlemopu 7614
Description: The upper cut of 𝐵 is open. Lemma for recexpr 7625. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemopu ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemopu
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . 4 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
21recexprlemelu 7610 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
3 ltbtwnnqq 7402 . . . . . 6 (𝑦 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
43biimpi 120 . . . . 5 (𝑦 <Q 𝑟 → ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
5 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 <Q 𝑟)
6 19.8a 1590 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
71recexprlemelu 7610 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
86, 7sylibr 134 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
98adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
105, 9jca 306 . . . . . . 7 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1110expcom 116 . . . . . 6 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → ((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
1211reximdv 2578 . . . . 5 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → (∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
134, 12mpan9 281 . . . 4 ((𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1413exlimiv 1598 . . 3 (∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
152, 14sylbi 121 . 2 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
16153ad2ant3 1020 1 ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  {cab 2163  wrex 2456  cop 3594   class class class wbr 4000  cfv 5212  1st c1st 6133  2nd c2nd 6134  Qcnq 7267  *Qcrq 7271   <Q cltq 7272  Pcnp 7278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7616
  Copyright terms: Public domain W3C validator