ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexpr GIF version

Theorem recexpr 7639
Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
recexpr (๐ด โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ด ยทP ๐‘ฅ) = 1P)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recexpr
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq12 4010 . . . . . . 7 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ (๐‘ง <Q ๐‘ค โ†” ๐‘ข <Q ๐‘ฃ))
2 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ค = ๐‘ฃ)
32fveq2d 5521 . . . . . . . 8 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ค) = (*Qโ€˜๐‘ฃ))
43eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
51, 4anbi12d 473 . . . . . 6 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ((๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (๐‘ข <Q ๐‘ฃ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))
65cbvexdva 1929 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ข โ†’ (โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ข <Q ๐‘ฃ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))
76cbvabv 2302 . . . 4 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))} = {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ข <Q ๐‘ฃ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}
8 simpl 109 . . . . . . . 8 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ข)
92, 8breq12d 4018 . . . . . . 7 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ (๐‘ค <Q ๐‘ง โ†” ๐‘ฃ <Q ๐‘ข))
103eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
119, 10anbi12d 473 . . . . . 6 ((๐‘ง = ๐‘ข โˆง ๐‘ค = ๐‘ฃ) โ†’ ((๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†” (๐‘ฃ <Q ๐‘ข โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))))
1211cbvexdva 1929 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ข โ†’ (โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ฃ <Q ๐‘ข โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))))
1312cbvabv 2302 . . . 4 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))} = {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ฃ <Q ๐‘ข โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}
147, 13opeq12i 3785 . . 3 โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ = โŸจ{๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ข <Q ๐‘ฃ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ(๐‘ฃ <Q ๐‘ข โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
1514recexprlempr 7633 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ โˆˆ P)
1614recexprlemex 7638 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ) = 1P)
17 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘ฅ = โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ โ†’ (๐ด ยทP ๐‘ฅ) = (๐ด ยทP โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ))
1817eqeq1d 2186 . . 3 (๐‘ฅ = โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ โ†’ ((๐ด ยทP ๐‘ฅ) = 1P โ†” (๐ด ยทP โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ) = 1P))
1918rspcev 2843 . 2 ((โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP โŸจ{๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ง <Q ๐‘ค โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค <Q ๐‘ง โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ) = 1P) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ด ยทP ๐‘ฅ) = 1P)
2015, 16, 19syl2anc 411 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ด ยทP ๐‘ฅ) = 1P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  *Qcrq 7285   <Q cltq 7286  Pcnp 7292  1Pc1p 7293   ยทP cmp 7295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-imp 7470
This theorem is referenced by:  ltmprr  7643  recexgt0sr  7774
  Copyright terms: Public domain W3C validator