Theorem mulgrhm2 14617

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rhmf 14170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
5	4	feqmptd 5695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)))
6		rhmghm 14169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		1zzd 9499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
10		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	1, 10, 11	ghmmulg 13836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
14		ax-1cn 8118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		cnfldmulg 14583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
17		1z 9498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
19		zringmulg 14605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
22		zcn 9477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	mulridd 8189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
26	25	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑓‘𝑛))
27		zring1 14608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
29	27, 28	rhm1 14174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑓‘1) = 1 )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘1) = 1 )
31	30	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · (𝑓‘1)) = (𝑛 · 1 ))
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑛 · 1 ))
33	32	mpteq2dva 4177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
34	5, 33	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
36	34, 35	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = 𝐹)
37		velsn 3684	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ {𝐹} ↔ 𝑓 = 𝐹)
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ {𝐹})
39	38	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ {𝐹}))
40	39	ssrdv 3231	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) ⊆ {𝐹})
41	11, 35, 28	mulgrhm 14616	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
42	41	snssd 3816	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐹} ⊆ (ℤring RingHom 𝑅))
43	40, 42	eqssd 3242	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667   ↦ cmpt 4148  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  1c1 8026   · cmul 8030  ℤcz 9472  Basecbs 13075  ._gcmg 13699   GrpHom cghm 13820  1_rcur 13965  Ringcrg 14002   RingHom crh 14157  ℂ_fldccnfld 14563  ℤ_ringczring 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-cj 11396  df-abs 11553  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mhm 13535  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-mulg 13700  df-subg 13750  df-ghm 13821  df-cmn 13866  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-ring 14004  df-cring 14005  df-rhm 14159  df-subrg 14226  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564  df-zring 14598

This theorem is referenced by:  zrhval2  14626  zrhrhmb  14629