Theorem mulgrhm2 14750

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rhmf 14300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
5	4	feqmptd 5729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)))
6		rhmghm 14299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		1zzd 9603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
10		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	1, 10, 11	ghmmulg 13965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
14		ax-1cn 8219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		cnfldmulg 14716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
17		1z 9602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
19		zringmulg 14738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
22		zcn 9581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	mulridd 8290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
26	25	fveq2d 5673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑓‘𝑛))
27		zring1 14741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
29	27, 28	rhm1 14304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑓‘1) = 1 )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘1) = 1 )
31	30	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · (𝑓‘1)) = (𝑛 · 1 ))
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑛 · 1 ))
33	32	mpteq2dva 4199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
34	5, 33	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
36	34, 35	eqtr4di 2283	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = 𝐹)
37		velsn 3705	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ {𝐹} ↔ 𝑓 = 𝐹)
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ {𝐹})
39	38	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ {𝐹}))
40	39	ssrdv 3243	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) ⊆ {𝐹})
41	11, 35, 28	mulgrhm 14749	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
42	41	snssd 3838	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐹} ⊆ (ℤring RingHom 𝑅))
43	40, 42	eqssd 3254	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   ↦ cmpt 4170  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  1c1 8127   · cmul 8131  ℤcz 9576  Basecbs 13204  ._gcmg 13828   GrpHom cghm 13949  1_rcur 14095  Ringcrg 14132   RingHom crh 14287  ℂ_fldccnfld 14696  ℤ_ringczring 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-cj 11523  df-abs 11680  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-starv 13297  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-unif 13305  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-mhm 13664  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-mulg 13829  df-subg 13879  df-ghm 13950  df-cmn 13995  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134  df-cring 14135  df-rhm 14289  df-subrg 14356  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-fg 14689  df-metu 14690  df-cnfld 14697  df-zring 14731

This theorem is referenced by:  zrhval2  14759  zrhrhmb  14762