Theorem mulgrhm2 14559

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rhmf 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
5	4	feqmptd 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)))
6		rhmghm 14111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		1zzd 9461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
10		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	1, 10, 11	ghmmulg 13779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
14		ax-1cn 8080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		cnfldmulg 14525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
17		1z 9460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
19		zringmulg 14547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
22		zcn 9439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	mulridd 8151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
26	25	fveq2d 5627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑓‘𝑛))
27		zring1 14550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
29	27, 28	rhm1 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑓‘1) = 1 )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘1) = 1 )
31	30	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · (𝑓‘1)) = (𝑛 · 1 ))
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑛 · 1 ))
33	32	mpteq2dva 4173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
34	5, 33	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
36	34, 35	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = 𝐹)
37		velsn 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ {𝐹} ↔ 𝑓 = 𝐹)
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ {𝐹})
39	38	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ {𝐹}))
40	39	ssrdv 3230	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) ⊆ {𝐹})
41	11, 35, 28	mulgrhm 14558	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
42	41	snssd 3812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐹} ⊆ (ℤring RingHom 𝑅))
43	40, 42	eqssd 3241	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   ↦ cmpt 4144  ⟶wf 5310  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  1c1 7988   · cmul 7992  ℤcz 9434  Basecbs 13018  ._gcmg 13642   GrpHom cghm 13763  1_rcur 13908  Ringcrg 13945   RingHom crh 14099  ℂ_fldccnfld 14505  ℤ_ringczring 14539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-map 6787  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-cj 11339  df-abs 11496  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-starv 13111  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-unif 13119  df-0g 13277  df-topgen 13279  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-mhm 13478  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-mulg 13643  df-subg 13693  df-ghm 13764  df-cmn 13809  df-mgp 13870  df-ur 13909  df-ring 13947  df-cring 13948  df-rhm 14101  df-subrg 14168  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-fg 14498  df-metu 14499  df-cnfld 14506  df-zring 14540

This theorem is referenced by:  zrhval2  14568  zrhrhmb  14571