Theorem uhgrspanop 16277

Description: A spanning subgraph of a hypergraph represented by an ordered pair is a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspanop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspanop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrspanop	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrspanop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspanop.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrspanop.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxex 16013	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2319	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝑉 ∈ V)
5		iedgex 16014	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6	2, 5	eqeltrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸 ∈ V)
7		resexg 5078	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V)
9		opexg 4344	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V) → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ V)
11		opvtxfv 16017	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩) = 𝑉)
12	4, 8, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩) = 𝑉)
13		opiedgfv 16020	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩) = (𝐸 ↾ 𝐴))
14	4, 8, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩) = (𝐸 ↾ 𝐴))
15		id 19	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
16	1, 2, 10, 12, 14, 15	uhgrspan 16273	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ⟨cop 3692   ↾ cres 4751  ‘cfv 5352  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UHGraphcuhgr 16062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-uhgrm 16064  df-subgr 16249

This theorem is referenced by: (None)