Theorem usgrss 15991

Description: An edge is a subset of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgrss.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrss	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem usgrss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3309	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ 𝒫 𝑉
2		usgrss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		usgrf1o.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	usgrfen 15974	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		f1f 5533	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
7	6	ffvelcdmda 5772	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
8	1, 7	sselid 3222	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
9	8	elpwid 3660	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  –1-1→wf1 5315  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893  Vtxcvtx 15829  iEdgciedg 15830  USGraphcusgr 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-edgf 15822  df-vtx 15831  df-iedg 15832  df-usgren 15970

This theorem is referenced by: (None)