Theorem ushgruhgr 16124

Description: An undirected simple hypergraph is an undirected hypergraph. (Contributed by AV, 19-Jan-2020.) (Revised by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ushgruhgr	⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem ushgruhgr

Dummy variables 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	ushgrfm 16118	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
4		f1f 5575	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
6	1, 2	isuhgrm 16115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
7	5, 6	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526  𝒫 cpw 3671  dom cdm 4751  ⟶wf 5350  –1-1→wf1 5351  ‘cfv 5354  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  UHGraphcuhgr 16111  USHGraphcushgr 16112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-uhgrm 16113  df-ushgrm 16114

This theorem is referenced by:  ushgrun  16132  ushgrunop  16133  ushgredgedg  16270  ushgredgedgloop  16272