Theorem uspgriedgedg 16161

Description: In a simple pseudograph, for each indexed edge there is exactly one edge. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredgiedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredgiedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uspgriedgedg	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem uspgriedgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgredgiedg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 16158	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of 5613	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
5		uspgredgiedg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6		feq3 5492	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
8	4, 7	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸)
9		fdmeu 5719	. . 3 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
10	8, 9	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
11		eqcom 2234	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
12	11	reubii 2730	. 2 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
13	10, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃!wreu 2522  dom cdm 4748  ⟶wf 5347  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  iEdgciedg 15995  Edgcedg 16039  USPGraphcuspgr 16135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-uspgren 16137

This theorem is referenced by: (None)