Theorem uspgriedgedg 16033

Description: In a simple pseudograph, for each indexed edge there is exactly one edge. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredgiedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredgiedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uspgriedgedg	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem uspgriedgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgredgiedg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 16030	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of 5583	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
5		uspgredgiedg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6		feq3 5467	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶(Edg‘𝐺))
8	4, 7	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸)
9		fdmeu 5689	. . 3 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
10	8, 9	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
11		eqcom 2233	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
12	11	reubii 2720	. 2 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐸 (𝐼‘𝑋) = 𝑘)
13	10, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∃!𝑘 ∈ 𝐸 𝑘 = (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2512  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  iEdgciedg 15867  Edgcedg 15911  USPGraphcuspgr 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-uspgren 16009

This theorem is referenced by: (None)