Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind3 GIF version

Theorem uzind3 9186
 Description: Induction on the upper integers that start at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 26-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind3.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind3.2 (𝑗 = 𝑚 → (𝜑𝜒))
uzind3.3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind3.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind3.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind3.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑚   𝑗,𝑚,𝑀,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘,𝑚)   𝜒(𝑘,𝑚)   𝜃(𝑘,𝑚)   𝜏(𝑘,𝑚)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem uzind3
StepHypRef Expression
1 breq2 3939 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
21elrab 2843 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
3 uzind3.1 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
4 uzind3.2 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (𝜑𝜒))
5 uzind3.3 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝜑𝜃))
6 uzind3.4 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
7 uzind3.5 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
8 breq2 3939 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑀𝑘𝑀𝑚))
98elrab 2843 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
10 uzind3.6 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}) → (𝜒𝜃))
119, 10sylan2br 286 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚)) → (𝜒𝜃))
12113impb 1178 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚) → (𝜒𝜃))
133, 4, 5, 6, 7, 12uzind 9184 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
14133expb 1183 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)) → 𝜏)
152, 14sylan2b 285 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}) → 𝜏)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  1c1 7643   + caddc 7645   ≤ cle 7823  ℤcz 9076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-ltadd 7758 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077 This theorem is referenced by:  uzind4  9408  algfx  11762
 Copyright terms: Public domain W3C validator