Theorem uzind2 9455

Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind2.1	⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind2.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind2.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind2.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind2.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind2.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 9397	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2		peano2z 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		uzind2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)))
5		uzind2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜒)))
7		uzind2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
9		uzind2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏)))
11		uzind2.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓))
13		zltp1le 9397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14		uzind2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
15	14	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
16	13, 15	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
17	16	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
18	17	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3adant1 1017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜒) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
22	4, 6, 8, 10, 12, 21	uzind 9454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))
23	22	3exp 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
24	2, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
25	24	com34 83	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))))
26	25	pm2.43a 51	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏)))
27	26	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))
28	1, 27	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝜏))
29	28	3impia 1202	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by: (None)