ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind2 GIF version

Theorem uzind2 9114
Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind2.1 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑𝜓))
uzind2.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind2.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind2.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind2.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind2.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2
StepHypRef Expression
1 zltp1le 9059 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2 peano2z 9041 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3 uzind2.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑𝜓))
43imbi2d 229 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)))
5 uzind2.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
65imbi2d 229 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜒)))
7 uzind2.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
87imbi2d 229 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
9 uzind2.4 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
109imbi2d 229 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏)))
11 uzind2.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓))
13 zltp1le 9059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14 uzind2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒𝜃))
15143expia 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (𝜒𝜃)))
1613, 15sylbird 169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒𝜃)))
1716ex 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒𝜃))))
1817com3l 81 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
1918imp 123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))
20193adant1 982 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))
2120a2d 26 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜒) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
224, 6, 8, 10, 12, 21uzind 9113 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))
23223exp 1163 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
242, 23syl 14 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
2524com34 83 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏))))
2625pm2.43a 51 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏)))
2726imp 123 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏))
281, 27sylbid 149 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝜏))
29283impia 1161 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  1c1 7585   + caddc 7587   < clt 7764  cle 7765  cz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator