Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ind GIF version

Theorem nn0ind 9172
 Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
nn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
nn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
nn0ind.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
nn0ind.5 𝜓
nn0ind.6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 9074 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2 0z 9072 . . 3 0 ∈ ℤ
3 nn0ind.1 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
4 nn0ind.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
5 nn0ind.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
6 nn0ind.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7 nn0ind.5 . . . . 5 𝜓
87a1i 9 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 𝜓)
9 elnn0z 9074 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 nn0ind.6 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜃))
119, 10sylbir 134 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒𝜃))
12113adant1 999 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒𝜃))
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 9169 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
142, 13mp3an1 1302 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
151, 14sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜏)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   ≤ cle 7808  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062 This theorem is referenced by:  zindd  9176  uzaddcl  9388  frecfzennn  10206  mulexp  10339  expadd  10342  expmul  10345  leexp1a  10355  bernneq  10419  faccl  10488  facdiv  10491  facwordi  10493  faclbnd  10494  faclbnd6  10497  facubnd  10498  bccl  10520  cjexp  10672  absexp  10858  binom  11260  bcxmas  11265  demoivreALT  11487  odd2np1lem  11576  alginv  11735  prmfac1  11837  ennnfonelemhf1o  11933  expcncf  12771
 Copyright terms: Public domain W3C validator