Theorem nn0ind 9507

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nn0ind.5	⊢ 𝜓
nn0ind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		0z 9403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nn0ind.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		nn0ind.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		nn0ind.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
6		nn0ind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
7		nn0ind.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 𝜓)
9		elnn0z 9405	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		nn0ind.6	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
12	11	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
13	3, 4, 5, 6, 8, 12	uzind 9504	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
14	2, 13	mp3an1 1337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
15	1, 14	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946   + caddc 7948   ≤ cle 8128  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  zindd  9511  uzaddcl  9727  frecfzennn  10593  mulexp  10745  expadd  10748  expmul  10751  leexp1a  10761  bernneq  10827  modqexp  10833  nn0ltexp2  10876  faccl  10902  facdiv  10905  facwordi  10907  faclbnd  10908  faclbnd6  10911  facubnd  10912  bccl  10934  wrdind  11198  wrd2ind  11199  cjexp  11279  absexp  11465  binom  11870  bcxmas  11875  fprodfac  12001  demoivreALT  12160  odd2np1lem  12258  bitsinv1  12348  alginv  12444  prmfac1  12549  pcfac  12748  ennnfonelemhf1o  12859  mhmmulg  13574  srgmulgass  13826  srgpcomp  13827  lmodvsmmulgdi  14160  cnfldexp  14414  expcn  15116  expcncf  15156  plycolemc  15305  rpcxpmul2  15460