ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3id GIF version

Theorem seq3id 10503
Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqid.1 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
iseqid.2 (𝜑𝑍𝑆)
iseqid.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqid.4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
iseqid.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
iseqid.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqid.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3id (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3id
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqid.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 9533 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑁))
51adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 uztrn 9540 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
74, 5, 6syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
8 iseqid.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
97, 8syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
10 iseqid.cl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
113, 9, 10seq3-1 10455 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
12 seqeq1 10443 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1312fveq1d 5516 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
1413eqeq1d 2186 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
1511, 14syl5ibcom 155 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
16 eluzel2 9529 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
171, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1817adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
208adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2110adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2218, 19, 20, 21seq3m1 10463 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
23 oveq2 5880 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
24 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
2523, 24eqeq12d 2192 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
26 iseqid.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
2726ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
28 iseqid.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑆)
2925, 27, 28rspcdva 2846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
3029adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31 eluzp1m1 9547 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3217, 31sylan 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
33 iseqid.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3433adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3528adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑍𝑆)
3630, 32, 34, 35, 20, 21seq3id3 10502 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
3736oveq1d 5887 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
38 oveq2 5880 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
39 id 19 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → 𝑥 = (𝐹𝑁))
4038, 39eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
4127adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
42 iseqid.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
4342adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
4440, 41, 43rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
4522, 37, 443eqtrd 2214 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
4645ex 115 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
47 uzp1 9557 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
481, 47syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
4915, 46, 48mpjaod 718 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
50 eqidd 2178 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
511, 49, 8, 9, 10, 50seq3feq2 10465 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cres 4627  cfv 5215  (class class class)co 5872  1c1 7809   + caddc 7811  cmin 8124  cz 9249  cuz 9524  ...cfz 10004  seqcseq 10440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-seqfrec 10441
This theorem is referenced by:  seq3coll  10815  sumrbdclem  11378  prodrbdclem  11572
  Copyright terms: Public domain W3C validator