ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3id GIF version

Theorem seq3id 10599
Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqid.1 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
iseqid.2 (𝜑𝑍𝑆)
iseqid.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqid.4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
iseqid.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
iseqid.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqid.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3id (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3id
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqid.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 9604 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑁))
51adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 uztrn 9612 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
74, 5, 6syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
8 iseqid.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
97, 8syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
10 iseqid.cl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
113, 9, 10seq3-1 10536 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
12 seqeq1 10524 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1312fveq1d 5557 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
1413eqeq1d 2202 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
1511, 14syl5ibcom 155 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
16 eluzel2 9600 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
171, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1817adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
208adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2110adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2218, 19, 20, 21seq3m1 10547 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
23 oveq2 5927 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
24 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
2523, 24eqeq12d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
26 iseqid.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
2726ralrimiva 2567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
28 iseqid.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑆)
2925, 27, 28rspcdva 2870 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
3029adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31 eluzp1m1 9619 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3217, 31sylan 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
33 iseqid.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3433adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3528adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑍𝑆)
3630, 32, 34, 35, 20, 21seq3id3 10598 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
3736oveq1d 5934 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
38 oveq2 5927 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
39 id 19 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → 𝑥 = (𝐹𝑁))
4038, 39eqeq12d 2208 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
4127adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
42 iseqid.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
4342adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
4440, 41, 43rspcdva 2870 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
4522, 37, 443eqtrd 2230 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
4645ex 115 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
47 uzp1 9629 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
481, 47syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
4915, 46, 48mpjaod 719 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
50 eqidd 2194 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
511, 49, 8, 9, 10, 50seq3feq2 10550 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cres 4662  cfv 5255  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  cmin 8192  cz 9320  cuz 9595  ...cfz 10077  seqcseq 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522
This theorem is referenced by:  seq3coll  10916  sumrbdclem  11523  prodrbdclem  11717
  Copyright terms: Public domain W3C validator