Theorem seq3id 10788

Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
iseqid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
iseqid.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqid.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
iseqid.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
iseqid.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqid.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3id	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3id

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9765	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
5	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		uztrn 9773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		iseqid.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
9	7, 8	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
10		iseqid.cl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11	3, 9, 10	seq3-1 10725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
12		seqeq1 10713	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
13	12	fveq1d 5641	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	13	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
15	11, 14	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
16		eluzel2 9760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
20	8	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
21	10	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	seq3m1 10736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
23		oveq2 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
24		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
25	23, 24	eqeq12d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
26		iseqid.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
27	26	ralrimiva 2605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
28		iseqid.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
29	25, 27, 28	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31		eluzp1m1 9780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	17, 31	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		iseqid.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
34	33	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
35	28	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑍 ∈ 𝑆)
36	30, 32, 34, 35, 20, 21	seq3id3 10787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
37	36	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
38		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
39		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → 𝑥 = (𝐹‘𝑁))
40	38, 39	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
41	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
42		iseqid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
43	42	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
44	40, 41, 43	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
45	22, 37, 44	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
46	45	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
47		uzp1 9790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
48	1, 47	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
49	15, 46, 48	mpjaod 725	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
50		eqidd 2232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
51	1, 49, 8, 9, 10, 50	seq3feq2 10739	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by:  seq3coll  11107  sumrbdclem  11943  prodrbdclem  12137