ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climabs0 GIF version

Theorem climabs0 10692
Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climabs0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climabs0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3 (𝜑𝐹𝑉)
climabs0.4 (𝜑𝐺𝑊)
climabs0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climabs0 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climabs0.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 9034 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3 climabs0.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4 absidm 10527 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
65breq1d 3855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
72, 6sylan2 280 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
87anassrs 392 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
98ralbidva 2376 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
109rexbidva 2377 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
1110ralbidv 2380 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
12 climabs0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 climabs0.4 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
14 climabs0.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
153abscld 10610 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1615recnd 7514 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
171, 12, 13, 14, 16clim0c 10670 . 2 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥))
18 climabs0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
19 eqidd 2089 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
201, 12, 18, 19, 3clim0c 10670 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2111, 17, 203bitr4rd 219 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3845  cfv 5015  cc 7346  0cc0 7348   < clt 7520  cz 8748  cuz 9017  +crp 9132  abscabs 10426  cli 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663
This theorem is referenced by:  expcnvap0  10892  expcnv  10894  explecnv  10895
  Copyright terms: Public domain W3C validator