Theorem climabs0 11839

Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climabs0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climabs0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climabs0.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climabs0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climabs0	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climabs0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 9757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		climabs0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4		absidm 11630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
6	5	breq1d 4093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
7	2, 6	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8	7	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
9	8	ralbidva 2526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
10	9	rexbidva 2527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
11	10	ralbidv 2530	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
12		climabs0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		climabs0.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
14		climabs0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
15	3	abscld 11713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	1, 12, 13, 14, 16	clim0c 11818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
18		climabs0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	1, 12, 18, 19, 3	clim0c 11818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
21	11, 17, 20	3bitr4rd 221	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  ℂcc 8013  0cc0 8015   < clt 8197  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ℝ⁺crp 9866  abscabs 11529   ⇝ cli 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811

This theorem is referenced by:  expcnvap0  12034  expcnv  12036  explecnv  12037