ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 GIF version

Theorem clim2ser2 11349
Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
clim2ser.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
clim2ser2.5 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleqtrdi 2270 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 peano2uz 9586 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluzelz 9540 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
86, 7syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 clim2ser2.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 9536 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
114, 10syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
133, 11, 12serf 10477 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1413, 2ffvelcdmd 5655 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
15 seqex 10450 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 9 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
176, 3eleqtrrdi 2271 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
183uztrn2 9548 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1917, 18sylan 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2019, 12syldan 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
211, 8, 20serf 10477 . . 3 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 5654 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2314adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
24 addcl 7939 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantl 277 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
26 addass 7944 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
2726adantl 277 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
28 simpr 110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
294adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
303eleq2i 2244 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 12sylan2br 288 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3231adantlr 477 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3325, 27, 28, 29, 32seq3split 10482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
3423, 22, 33comraddd 8117 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
351, 8, 9, 14, 16, 22, 34climaddc1 11340 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„‚cc 7812  1c1 7815   + caddc 7817  β„€cz 9256  β„€β‰₯cuz 9531  seqcseq 10448   ⇝ cli 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-fz 10012  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290
This theorem is referenced by:  iserex  11350
  Copyright terms: Public domain W3C validator