Theorem clim2ser2 11345

Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2ser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser2.5	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
clim2ser2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2ser.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 9582	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzelz 9536	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		clim2ser2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10		eluzel2 9532	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2ser.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	3, 11, 12	serf 10473	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 5652	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		seqex 10446	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
17	6, 3	eleqtrrdi 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
18	3	uztrn2 9544	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	19, 12	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21	1, 8, 20	serf 10473	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 5651	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
23	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
24		addcl 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
25	24	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
26		addass 7940	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
27	26	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
28		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
29	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30	3	eleq2i 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30, 12	sylan2br 288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32	31	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	25, 27, 28, 29, 32	seq3split 10478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
34	23, 22, 33	comraddd 8113	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
35	1, 8, 9, 14, 16, 22, 34	climaddc1 11336	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  1c1 7811   + caddc 7813  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527  seqcseq 10444   ⇝ cli 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-fz 10008  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286

This theorem is referenced by:  iserex  11346