Theorem 0conngr 30285

Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0conngr	⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4453	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝
2		0ex 5256	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		vtxval0 29130	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
5	4	isconngr 30282	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝)
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Vtxcvtx 29087  PathsOncpthson 29803  ConnGraphcconngr 30279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-1cn 11098  ax-addcl 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-nn 12160  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-vtx 29089  df-conngr 30280

This theorem is referenced by: (None)