Theorem 0conngr 30798

Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0conngr	⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4453	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝
2		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		vtxval0 29622	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
4	3	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
5	4	isconngr 30795	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝)
7	1, 6	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ ConnGraph

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Vtxcvtx 29579  PathsOncpthson 30302  ConnGraphcconngr 30792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-nn 12339  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-vtx 29581  df-conngr 30793

This theorem is used by: (None)