Theorem 0conngr 30216

Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0conngr	⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4449	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝
2		0ex 5250	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		vtxval0 29061	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
4	3	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
5	4	isconngr 30213	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝)
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Vtxcvtx 29018  PathsOncpthson 29734  ConnGraphcconngr 30210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-vtx 29020  df-conngr 30211

This theorem is referenced by: (None)