Theorem 0conngr 30172

Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0conngr	⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4460	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝
2		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		vtxval0 29017	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
4	3	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
5	4	isconngr 30169	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝)
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Vtxcvtx 28974  PathsOncpthson 29690  ConnGraphcconngr 30166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-vtx 28976  df-conngr 30167

This theorem is referenced by: (None)