MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0conngr 29139
Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
0conngr βˆ… ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4471 . 2 βˆ€π‘˜ ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ βˆ… βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜βˆ…)𝑛)𝑝
2 0ex 5265 . . 3 βˆ… ∈ V
3 vtxval0 27993 . . . . 5 (Vtxβ€˜βˆ…) = βˆ…
43eqcomi 2746 . . . 4 βˆ… = (Vtxβ€˜βˆ…)
54isconngr 29136 . . 3 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆ… ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ βˆ… βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜βˆ…)𝑛)𝑝))
62, 5ax-mp 5 . 2 (βˆ… ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ βˆ… βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜βˆ…)𝑛)𝑝)
71, 6mpbir 230 1 βˆ… ∈ ConnGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Vtxcvtx 27950  PathsOncpthson 28665  ConnGraphcconngr 29133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addcl 11112
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12155  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-vtx 27952  df-conngr 29134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator