Theorem 0conngr 30215

Description: A graph without vertices is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0conngr	⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Proof of Theorem 0conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4532	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝
2		0ex 5328	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		vtxval0 29065	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
4	3	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
5	4	isconngr 30212	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ ∅ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘∅)𝑛)𝑝)
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ ConnGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1777   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063  Vcvv 3482  ∅c0 4347   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Vtxcvtx 29022  PathsOncpthson 29741  ConnGraphcconngr 30209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-1cn 11238  ax-addcl 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-nn 12290  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-vtx 29024  df-conngr 30210

This theorem is referenced by: (None)