Theorem 0posOLD 17829

Description: Obsolete proof of 0pos 17828 as of 13-Oct-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0posOLD	⊢ ∅ ∈ Poset

Proof of Theorem 0posOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5200	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		ral0 4424	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ∅ ∀𝑏 ∈ ∅ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎∅𝑎 ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑐) → 𝑎∅𝑐))
3		base0 16765	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4		df-ple 16822	. . . 4 ⊢ le = Slot ;10
5	4	str0 16742	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
6	3, 5	ispos 17821	. 2 ⊢ (∅ ∈ Poset ↔ (∅ ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ ∅ ∀𝑏 ∈ ∅ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎∅𝑎 ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑐) → 𝑎∅𝑐))))
7	1, 2, 6	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅ ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408  ∅c0 4237   class class class wbr 5053  0cc0 10729  1c1 10730  ;cdc 12293  lecple 16809  Posetcpo 17814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ple 16822  df-poset 17820

This theorem is referenced by: (None)