Theorem ccatcan2d 42704

Description: Cancellation law for concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ccatcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ccatcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
2		ccatcan2d.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ccatcan2d.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
8		lencl 14486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
12		ccatcan2d.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)
13		lencl 14486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
17		ccatlen 14528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
18	2, 12, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
19		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
20	18, 19	sylan9req 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
21		ccatlen 14528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
22	7, 12, 21	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
24	20, 23	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
25	6, 11, 16, 24	addcan2ad 11343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
26	1, 25	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)))
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵))))
28		pfxccat1 14655	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
29	2, 12, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
30		pfxccat1 14655	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
31	7, 12, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
32	29, 31	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	27, 32	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
34		oveq1 7367	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
35	33, 34	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   prefix cpfx 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625

This theorem is referenced by: (None)