Theorem ccatcan2d 43126

Description: Cancellation law for concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ccatcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ccatcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
2		ccatcan2d.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ccatcan2d.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
8		lencl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
12		ccatcan2d.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)
13		lencl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
17		ccatlen 14644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
18	2, 12, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
19		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
20	18, 19	sylan9req 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
21		ccatlen 14644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
22	7, 12, 21	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
24	20, 23	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
25	6, 11, 16, 24	addcan2ad 11444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
26	1, 25	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)))
27	26	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵))))
28		pfxccat1 14775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
29	2, 12, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
30		pfxccat1 14775	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
31	7, 12, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
32	29, 31	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	27, 32	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
34		oveq1 7424	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
35	33, 34	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  ♯chash 14398  Word cword 14582   ++ cconcat 14639   prefix cpfx 14744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-substr 14713  df-pfx 14745

This theorem is used by: (None)