Theorem ccatcan2d 42502

Description: Cancellation law for concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ccatcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ccatcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
2		ccatcan2d.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ccatcan2d.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
8		lencl 14456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
12		ccatcan2d.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)
13		lencl 14456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
17		ccatlen 14498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
18	2, 12, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
19		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
20	18, 19	sylan9req 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
21		ccatlen 14498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
22	7, 12, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
24	20, 23	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
25	6, 11, 16, 24	addcan2ad 11339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
26	1, 25	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)))
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵))))
28		pfxccat1 14625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
29	2, 12, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
30		pfxccat1 14625	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
31	7, 12, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
32	29, 31	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	27, 32	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
34		oveq1 7365	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
35	33, 34	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253  Word cword 14436   ++ cconcat 14493   prefix cpfx 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-substr 14565  df-pfx 14595

This theorem is referenced by: (None)