Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatcan2d 39765
 Description: Cancellation law for concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatcan2d.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.c (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ccatcan2d (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ccatcan2d
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
2 ccatcan2d.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑉)
3 lencl 13945 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
54nn0cnd 12009 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
7 ccatcan2d.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑉)
8 lencl 13945 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
109nn0cnd 12009 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
12 ccatcan2d.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑉)
13 lencl 13945 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12009 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
17 ccatlen 13987 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
182, 12, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
19 fveq2 6663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
2018, 19sylan9req 2814 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
21 ccatlen 13987 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
227, 12, 21syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
2322adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
2420, 23eqtrd 2793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
256, 11, 16, 24addcan2ad 10897 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
261, 25oveq12d 7174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)))
2726ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵))))
28 pfxccat1 14124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
292, 12, 28syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
30 pfxccat1 14124 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
317, 12, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3229, 31eqeq12d 2774 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3327, 32sylibd 242 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
34 oveq1 7163 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
3533, 34impbid1 228 1 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586   + caddc 10591  ℕ0cn0 11947  ♯chash 13753  Word cword 13926   ++ cconcat 13982   prefix cpfx 14092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-concat 13983  df-substr 14063  df-pfx 14093 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator