Theorem ccatcan2d 42271

Description: Cancellation law for concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
ccatcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ccatcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ccatcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
2		ccatcan2d.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ccatcan2d.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
8		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
12		ccatcan2d.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑉)
13		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℂ)
17		ccatlen 14610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
18	2, 12, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)))
19		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
20	18, 19	sylan9req 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)))
21		ccatlen 14610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
22	7, 12, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘(𝐵 ++ 𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
24	20, 23	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐶)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐶)))
25	6, 11, 16, 24	addcan2ad 11465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
26	1, 25	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶)) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)))
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵))))
28		pfxccat1 14737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
29	2, 12, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
30		pfxccat1 14737	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑉) → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
31	7, 12, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
32	29, 31	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐴)) = ((𝐵 ++ 𝐶) prefix (♯‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	27, 32	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
34		oveq1 7438	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶))
35	33, 34	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐶) = (𝐵 ++ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605   prefix cpfx 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706

This theorem is referenced by: (None)