MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemg 19132
Description: Lemma for efgred 19138. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
Assertion
Ref Expression
efgredlemg (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemg
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6788 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 3935 . . . . 5 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4 efgval.r . . . . . . 7 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9 efgredlem.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
10 efgredlem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
11 efgredlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
12 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
13 efgredlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
14 efgredlemb.k . . . . . . 7 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
15 efgredlemb.l . . . . . . 7 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
161, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15efgredlemf 19131 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
1716simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
183, 17sseldi 3899 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
19 lencl 14088 . . . 4 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 12152 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
2216simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
233, 22sseldi 3899 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
24 lencl 14088 . . . 4 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 12152 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℂ)
27 2cnd 11908 . 2 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
281, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13efgredlema 19130 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2928simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
301, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 19122 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
3110, 29, 30syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
3214fveq2i 6720 . . . . . . 7 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
3332fveq2i 6720 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
3433rneqi 5806 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
3531, 34eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
361, 4, 5, 6efgtlen 19116 . . . 4 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
3717, 35, 36syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
3828simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
391, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 19122 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4011, 38, 39syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4112, 40eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4215fveq2i 6720 . . . . . . 7 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
4342fveq2i 6720 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
4443rneqi 5806 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
4541, 44eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
461, 4, 5, 6efgtlen 19116 . . . 4 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4722, 45, 46syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4837, 47eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4921, 26, 27, 48addcan2ad 11038 1 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  cdif 3863  c0 4237  {csn 4541  cop 4547  cotp 4549   ciun 4904   class class class wbr 5053  cmpt 5135   I cid 5454   × cxp 5549  dom cdm 5551  ran crn 5552  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  1oc1o 8195  2oc2o 8196  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   splice csplice 14314  ⟨“cs2 14406   ~FG cefg 19096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-s2 14413
This theorem is referenced by:  efgredleme  19133
  Copyright terms: Public domain W3C validator