MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemg 18362
Description: Lemma for efgred 18368. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
Assertion
Ref Expression
efgredlemg (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemg
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6400 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3784 . . . . 5 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
4 efgval.r . . . . . . 7 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9 efgredlem.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
10 efgredlem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
11 efgredlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
12 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
13 efgredlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
14 efgredlemb.k . . . . . . 7 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
15 efgredlemb.l . . . . . . 7 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
161, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15efgredlemf 18361 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
1716simpld 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
183, 17sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
19 lencl 13520 . . . 4 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 11560 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
2216simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
233, 22sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
24 lencl 13520 . . . 4 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 11560 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℂ)
27 2cnd 11299 . 2 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
281, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13efgredlema 18360 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2928simpld 482 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
301, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 18352 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
3110, 29, 30syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
3214fveq2i 6336 . . . . . . 7 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
3332fveq2i 6336 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
3433rneqi 5489 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
3531, 34syl6eleqr 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
361, 4, 5, 6efgtlen 18346 . . . 4 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
3717, 35, 36syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
3828simprd 483 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
391, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 18352 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4011, 38, 39syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4112, 40eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
4215fveq2i 6336 . . . . . . 7 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
4342fveq2i 6336 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
4443rneqi 5489 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
4541, 44syl6eleqr 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
461, 4, 5, 6efgtlen 18346 . . . 4 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4722, 45, 46syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4837, 47eqtr3d 2807 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
4921, 26, 27, 48addcan2ad 10448 1 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  cdif 3720  c0 4063  {csn 4317  cop 4323  cotp 4325   ciun 4655   class class class wbr 4787  cmpt 4864   I cid 5157   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  1𝑜c1o 7710  2𝑜c2o 7711  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cmin 10472  cn 11226  2c2 11276  0cn0 11499  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   splice csplice 13492  ⟨“cs2 13795   ~FG cefg 18326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-s2 13802
This theorem is referenced by:  efgredleme  18363
  Copyright terms: Public domain W3C validator