| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | swrdf1.w |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷) |
| 2 | | swrdf1.m |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁)) |
| 3 | | swrdf1.n |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) |
| 4 | | swrdf 14688 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶𝐷) |
| 5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1373 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶𝐷) |
| 6 | 5 | ffdmd 6766 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)⟶𝐷) |
| 7 | | fzossz 13719 |
. . . . . . . 8
⊢
(0..^(𝑁 −
𝑀)) ⊆
ℤ |
| 8 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 9 | 5 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) = (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
| 10 | 9 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) = (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
| 11 | 8, 10 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
| 12 | 7, 11 | sselid 3981 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
| 13 | 12 | zcnd 12723 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℂ) |
| 14 | | simplr 769 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 15 | 14, 10 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
| 16 | 7, 15 | sselid 3981 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
| 17 | 16 | zcnd 12723 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
| 18 | 2 | elfzelzd 13565 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 19 | 18 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 20 | 19 | zcnd 12723 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 21 | | swrdf1.1 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) |
| 22 | 21 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) |
| 23 | | elfzuz 13560 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 24 | | fzoss1 13726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)) |
| 25 | 2, 23, 24 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)) |
| 26 | | elfzuz3 13561 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈
(0...(♯‘𝑊))
→ (♯‘𝑊)
∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
| 27 | | fzoss2 13727 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘𝑊)
∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 28 | 3, 26, 27 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 29 | 25, 28 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 30 | 29 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 31 | 3 | elfzelzd 13565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 32 | 31 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 33 | | fzoaddel2 13759 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
| 34 | 11, 32, 19, 33 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
| 35 | 30, 34 | sseldd 3984 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 36 | | wrddm 14559 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
| 37 | 1, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
| 38 | 37 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
| 39 | 35, 38 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) |
| 40 | | fzoaddel2 13759 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
| 41 | 15, 32, 19, 40 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
| 42 | 30, 41 | sseldd 3984 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 43 | 42, 38 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) |
| 44 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) |
| 45 | 1 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑊 ∈ Word 𝐷) |
| 46 | 2 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁)) |
| 47 | 3 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) |
| 48 | | swrdfv 14686 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) |
| 49 | 45, 46, 47, 11, 48 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) |
| 50 | | swrdfv 14686 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
| 51 | 45, 46, 47, 15, 50 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
| 52 | 44, 49, 51 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
| 53 | | f1veqaeq 7277 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ ((𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊 ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)) → ((𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀))) |
| 54 | 53 | anassrs 467 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → ((𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀))) |
| 55 | 54 | imp 406 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀)) |
| 56 | 22, 39, 43, 52, 55 | syl1111anc 841 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀)) |
| 57 | 13, 17, 20, 56 | addcan2ad 11467 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗) |
| 58 | 57 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) → (((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 59 | 58 | anasss 466 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉))) → (((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 60 | 59 | ralrimivva 3202 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)∀𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)(((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 61 | | dff13 7275 |
. 2
⊢ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)–1-1→𝐷 ↔ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)⟶𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)∀𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)(((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))) |
| 62 | 6, 60, 61 | sylanbrc 583 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)–1-1→𝐷) |