Theorem rmyluc 43612

Description: The Y sequence is a Lucas sequence, definable via this second-order recurrence with rmy0 43604 and rmy1 43605. Part 3 of equation 2.12 of [JonesMatijasevic] p. 695. JonesMatijasevic uses this theorem to redefine the X and Y sequences to have domain (ℤ × ℤ), which simplifies some later theorems. It may shorten the derivation to use this as our initial definition. Incidentally, the X sequence satisfies the exact same recurrence. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmyluc	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem rmyluc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12634	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		frmy 43589	. . . . 5 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
3	2	fovcl 7538	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4	1, 3	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6		2cn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	2	fovcl 7538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9		eluzelcn 12873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ)
12		mulcl 11183	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 11, 12	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) ∈ ℂ)
14		peano2zm 12636	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	2	fovcl 7538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
16	14, 15	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
18	13, 17	subcld 11568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
19		rmyp1 43608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)))
20		rmym1 43610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
21	19, 20	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁))))
22		frmx 43588	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
25	11, 24, 11	ppncand 11608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
26	13, 17	npcand 11572	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
27	11	2timesd 12486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
28	26, 27	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
29	21, 25, 28	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
30	5, 18, 17, 29	addcan2ad 11415	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861   X_rm crmx 43575   Y_rm crmy 43576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-numer 16793  df-denom 16794  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-squarenn 43516  df-pell1qr 43517  df-pell14qr 43518  df-pell1234qr 43519  df-pellfund 43520  df-rmx 43577  df-rmy 43578

This theorem is referenced by:  rmyluc2  43613  jm2.18  43663  jm2.15nn0  43678  jm2.16nn0  43679