Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyluc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmyluc 41304
Description: The Y sequence is a Lucas sequence, definable via this second-order recurrence with rmy0 41296 and rmy1 41297. Part 3 of equation 2.12 of [JonesMatijasevic] p. 695. JonesMatijasevic uses this theorem to redefine the X and Y sequences to have domain (β„€ Γ— β„€), which simplifies some later theorems. It may shorten the derivation to use this as our initial definition. Incidentally, the X sequence satisfies the exact same recurrence. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyluc ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))

Proof of Theorem rmyluc
StepHypRef Expression
1 peano2z 12549 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
2 frmy 41281 . . . . 5 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
32fovcl 7485 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
41, 3sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
54zcnd 12613 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
6 2cn 12233 . . . 4 2 ∈ β„‚
72fovcl 7485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
87zcnd 12613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
9 eluzelcn 12780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
118, 10mulcld 11180 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
12 mulcl 11140 . . . 4 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
136, 11, 12sylancr 588 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
14 peano2zm 12551 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
152fovcl 7485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
1614, 15sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
1716zcnd 12613 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
1813, 17subcld 11517 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
19 rmyp1 41300 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)))
20 rmym1 41302 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
2119, 20oveq12d 7376 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁))))
22 frmx 41280 . . . . . 6 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
2322fovcl 7485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2423nn0cnd 12480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
2511, 24, 11ppncand 11557 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)))
2613, 17npcand 11521 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)))
27112timesd 12401 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)))
2826, 27eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
2921, 25, 283eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
305, 18, 17, 29addcan2ad 11366 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768   Xrm crmx 41266   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  rmyluc2  41305  jm2.18  41355  jm2.15nn0  41370  jm2.16nn0  41371
  Copyright terms: Public domain W3C validator