Theorem sadadd2lem 16497

Description: Lemma for sadadd2 16498. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
3		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
4		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
5	2, 3, 4	sadfval 16490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
6		ssrab2 4079	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
7	5, 6	eqsstrdi 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
8	1, 7	sstrid 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9		fzofi 14016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11		inss2 4237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12		ssfi 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14		elfpw 9395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
15	8, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16		bitsf1o 16483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17		f1ocnv 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18		f1of 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	20	feq1i 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
22	19, 21	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
23	22	ffvelcdmi 7102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
24	15, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26		2nn0 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28		sadcp1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
29	27, 28	nn0expcld 14286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30		0nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		ifcl 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34		1nn0 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
36	28, 35	nn0addcld 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	27, 36	nn0expcld 14286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38		ifcl 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
39	37, 30, 38	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
41	33, 40	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
42	25, 41	addcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43		inss1 4236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
44	43, 2	sstrid 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45		inss2 4237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46		ssfi 9214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
47	10, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48		elfpw 9395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
49	44, 47, 48	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
50	22	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53		inss1 4236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
54	53, 3	sstrid 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55		inss2 4237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56		ssfi 9214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
57	10, 55, 56	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58		elfpw 9395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
59	54, 57, 58	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
60	22	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
62	61	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
63	52, 62	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64		ifcl 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
65	29, 30, 64	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67		ifcl 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
68	29, 30, 67	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
69	68	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
70	66, 69	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
71	63, 70	addcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
72	29	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74		0cnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
75	73, 74	ifclda 4560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76		sadadd2lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
77	2, 3, 4, 28	sadval 16494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
78	77	ifbid 4548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0))
79	2, 3, 4, 28	sadcp1 16493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
80	27	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	80, 28	expp1d 14188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
82	72, 80	mulcomd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
83	81, 82	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
84	79, 83	ifbieq1d 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
85	78, 84	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86		sadadd2lem2 16488	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
87	72, 86	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
88	85, 87	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
89	76, 88	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
90	25, 41, 75	add32d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
91	63, 70, 75	addassd 11284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
92	89, 90, 91	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
93	42, 71, 75, 92	addcan2ad 11468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
94	25, 33, 40	addassd 11284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
95	52, 66, 62, 69	add4d 11491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
96	93, 94, 95	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
97	20	bitsinvp1 16487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
98	7, 28, 97	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
99	98	oveq1d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
100	20	bitsinvp1 16487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
101	2, 28, 100	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
102	20	bitsinvp1 16487	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
103	3, 28, 102	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104	101, 103	oveq12d 7450	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
105	96, 99, 104	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  haddwhad 1592  caddwcad 1605   ∈ wcel 2107  {crab 3435   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686  ⟶wf 6556  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Fincfn 8986  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ..^cfzo 13695  seqcseq 14043  ↑cexp 14103  bitscbits 16457   sadd csad 16458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-had 1593  df-cad 1606  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-bits 16460  df-sad 16489

This theorem is referenced by:  sadadd2  16498