MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem 15419
Description: Lemma for sadadd2 15420. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4040 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
52, 3, 4sadfval 15412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
6 ssrab2 3895 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ⊆ ℕ0
75, 6syl6eqss 3863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
81, 7syl5ss 3820 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9 fzofi 13016 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4041 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12 ssfi 8428 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 8516 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 15405 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6374 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18 f1of 6362 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
2120feq1i 6256 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2219, 21mpbir 222 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2322ffvelrni 6589 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11638 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26 2nn0 11595 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2927, 28nn0expcld 13273 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30 0nn0 11593 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
31 ifcl 4334 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3229, 30, 31sylancl 576 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34 1nn0 11594 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
3628, 35nn0addcld 11640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3727, 36nn0expcld 13273 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38 ifcl 4334 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
3937, 30, 38sylancl 576 . . . . . . 7 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
4133, 40addcld 10353 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
4225, 41addcld 10353 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43 inss1 4040 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
4443, 2syl5ss 3820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45 inss2 4041 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46 ssfi 8428 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 8516 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5022ffvelrni 6589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53 inss1 4040 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
5453, 3syl5ss 3820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55 inss2 4041 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56 ssfi 8428 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 8516 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
6022ffvelrni 6589 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6261nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
6352, 62addcld 10353 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64 ifcl 4334 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6529, 30, 64sylancl 576 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67 ifcl 4334 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6829, 30, 67sylancl 576 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
7066, 69addcld 10353 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
7163, 70addcld 10353 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
7229nn0cnd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
7372adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74 0cnd 10327 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
7573, 74ifclda 4324 . . . 4 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 15416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
7877ifbid 4312 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 15415 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
8027nn0cnd 11638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8180, 28expp1d 13251 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8272, 80mulcomd 10355 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4313 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 6901 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 15410 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2851 . . . . . 6 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 6901 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 10557 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 10356 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2861 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 10536 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 10356 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 10558 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2861 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 15409 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 6898 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 15409 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 15409 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 6901 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2861 1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  haddwhad 1687  caddwcad 1700  wcel 2157  {crab 3111  cin 3779  wss 3780  c0 4127  ifcif 4290  𝒫 cpw 4362  cmpt 4934  ccnv 5323  cres 5326  wf 6106  1-1-ontowf1o 6109  cfv 6110  (class class class)co 6883  cmpt2 6885  1𝑜c1o 7798  2𝑜c2o 7799  Fincfn 8201  cc 10228  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233   · cmul 10235  cmin 10560  2c2 11367  0cn0 11578  ..^cfzo 12708  seqcseq 13043  cexp 13102  bitscbits 15379   sadd csad 15380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-fal 1651  df-had 1688  df-cad 1701  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-2o 7806  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11579  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-uz 11924  df-rp 12066  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-fl 12836  df-mod 12912  df-seq 13044  df-exp 13103  df-hash 13357  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-clim 14461  df-sum 14659  df-dvds 15223  df-bits 15382  df-sad 15411
This theorem is referenced by:  sadadd2  15420
  Copyright terms: Public domain W3C validator