MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem 16344
Description: Lemma for sadadd2 16345. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadadd2lem.1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4189 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
52, 3, 4sadfval 16337 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))})
6 ssrab2 4038 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))} βŠ† β„•0
75, 6eqsstrdi 3999 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
81, 7sstrid 3956 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
9 fzofi 13885 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4190 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
12 ssfi 9120 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 9301 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 16330 . . . . . . . . . 10 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
18 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
2120feq1i 6660 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2219, 21mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2322ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2524nn0cnd 12480 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
26 2nn0 12435 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2927, 28nn0expcld 14155 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
30 0nn0 12433 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
31 ifcl 4532 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3332nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
34 1nn0 12434 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
3628, 35nn0addcld 12482 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3727, 36nn0expcld 14155 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
38 ifcl 4532 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
3937, 30, 38sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
4039nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„‚)
4133, 40addcld 11179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ β„‚)
4225, 41addcld 11179 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ β„‚)
43 inss1 4189 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
4443, 2sstrid 3956 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
45 inss2 4190 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
46 ssfi 9120 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 9301 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
5022ffvelcdmi 7035 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5251nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
53 inss1 4189 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5453, 3sstrid 3956 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
55 inss2 4190 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
56 ssfi 9120 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 9301 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
6022ffvelcdmi 7035 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6261nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
6352, 62addcld 11179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„‚)
64 ifcl 4532 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6529, 30, 64sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
67 ifcl 4532 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6829, 30, 67sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6968nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
7066, 69addcld 11179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ β„‚)
7163, 70addcld 11179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ β„‚)
7229nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
7372adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
74 0cnd 11153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 0 ∈ β„‚)
7573, 74ifclda 4522 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 16341 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
7877ifbid 4510 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 16340 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
8027nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
8180, 28expp1d 14058 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
8272, 80mulcomd 11181 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4511 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 16335 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ β„‚ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 7376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 11387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 11182 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 11366 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 11182 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 11388 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 16334 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 16334 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 16334 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107  {crab 3406   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  β„•0cn0 12418  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973  bitscbits 16304   sadd csad 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307  df-sad 16336
This theorem is referenced by:  sadadd2  16345
  Copyright terms: Public domain W3C validator