Theorem sadadd2lem 16539

Description: Lemma for sadadd2 16540. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝐾(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝑁(𝑚, 𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
3		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
4		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
5	2, 3, 4	sadfval 16532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
6		ssrab2 4035	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
7	5, 6	eqsstrdi 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
8	1, 7	sstrid 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9		fzofi 14028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11		inss2 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12		ssfi 9164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14		elfpw 9318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
15	8, 13, 14	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16		bitsf1o 16525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17		f1ocnv 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18		f1of 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	20	feq1i 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
22	19, 21	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
23	22	ffvelcdmi 7082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
24	15, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26		2nn0 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28		sadcp1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
29	27, 28	nn0expcld 14300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30		0nn0 12534	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		ifcl 4535	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34		1nn0 12535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
36	28, 35	nn0addcld 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	27, 36	nn0expcld 14300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38		ifcl 4535	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
39	37, 30, 38	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
41	33, 40	addcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
42	25, 41	addcld 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43		inss1 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
44	43, 2	sstrid 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45		inss2 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46		ssfi 9164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
47	10, 45, 46	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48		elfpw 9318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
49	44, 47, 48	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
50	22	ffvelcdmi 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53		inss1 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
54	53, 3	sstrid 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55		inss2 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56		ssfi 9164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
57	10, 55, 56	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58		elfpw 9318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
59	54, 57, 58	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
60	22	ffvelcdmi 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
61	59, 60	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
62	61	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
63	52, 62	addcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64		ifcl 4535	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
65	29, 30, 64	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67		ifcl 4535	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
68	29, 30, 67	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
69	68	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
70	66, 69	addcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
71	63, 70	addcld 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
72	29	nn0cnd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
73	72	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74		0cnd 11214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
75	73, 74	ifclda 4525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76		sadadd2lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
77	2, 3, 4, 28	sadval 16536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
78	77	ifbid 4513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0))
79	2, 3, 4, 28	sadcp1 16535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
80	27	nn0cnd 12582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	80, 28	expp1d 14201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
82	72, 80	mulcomd 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
83	81, 82	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
84	79, 83	ifbieq1d 4514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
85	78, 84	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86		sadadd2lem2 16530	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
87	72, 86	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
88	85, 87	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
89	76, 88	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
90	25, 41, 75	add32d 11453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
91	63, 70, 75	addassd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
92	89, 90, 91	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
93	42, 71, 75, 92	addcan2ad 11431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
94	25, 33, 40	addassd 11246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
95	52, 66, 62, 69	add4d 11454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
96	93, 94, 95	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
97	20	bitsinvp1 16529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
98	7, 28, 97	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
99	98	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
100	20	bitsinvp1 16529	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
101	2, 28, 100	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
102	20	bitsinvp1 16529	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
103	3, 28, 102	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104	101, 103	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
105	96, 99, 104	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  haddwhad 1623  caddwcad 1639   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453  Fincfn 8949  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ..^cfzo 13699  seqcseq 14055  ↑cexp 14115  bitscbits 16499   sadd csad 16500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-dvds 16333  df-bits 16502  df-sad 16531

This theorem is used by:  sadadd2  16540