MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadadd2lem 16402
Description: Lemma for sadadd2 16403. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadadd2lem.1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4228 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
52, 3, 4sadfval 16395 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))})
6 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))} βŠ† β„•0
75, 6eqsstrdi 4036 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
81, 7sstrid 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
9 fzofi 13941 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
12 ssfi 9175 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 9356 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 16388 . . . . . . . . . 10 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
18 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
2120feq1i 6708 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2219, 21mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2322ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2524nn0cnd 12536 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
26 2nn0 12491 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2927, 28nn0expcld 14211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
30 0nn0 12489 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
31 ifcl 4573 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3332nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
34 1nn0 12490 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
3628, 35nn0addcld 12538 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3727, 36nn0expcld 14211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
38 ifcl 4573 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
3937, 30, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
4039nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„‚)
4133, 40addcld 11235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ β„‚)
4225, 41addcld 11235 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ β„‚)
43 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
4443, 2sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
45 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
46 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 9356 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
5022ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5251nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
53 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5453, 3sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
55 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
56 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 9356 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
6022ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6261nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
6352, 62addcld 11235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„‚)
64 ifcl 4573 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6529, 30, 64sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
67 ifcl 4573 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6829, 30, 67sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6968nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
7066, 69addcld 11235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ β„‚)
7163, 70addcld 11235 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ β„‚)
7229nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
7372adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
74 0cnd 11209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 0 ∈ β„‚)
7573, 74ifclda 4563 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 16399 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
7877ifbid 4551 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 16398 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
8027nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
8180, 28expp1d 14114 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
8272, 80mulcomd 11237 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4552 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 7429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 16393 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ β„‚ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 11443 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 11422 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 11238 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 11444 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 16392 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 16392 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 16392 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  haddwhad 1594  caddwcad 1607   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  2c2 12269  β„•0cn0 12474  ..^cfzo 13629  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  bitscbits 16362   sadd csad 16363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-bits 16365  df-sad 16394
This theorem is referenced by:  sadadd2  16403
  Copyright terms: Public domain W3C validator