MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadadd2lem 16405
Description: Lemma for sadadd2 16406. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadadd2lem.1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
52, 3, 4sadfval 16398 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))})
6 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))} βŠ† β„•0
75, 6eqsstrdi 4037 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
81, 7sstrid 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
9 fzofi 13944 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
12 ssfi 9176 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 9357 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 16391 . . . . . . . . . 10 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
18 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
2120feq1i 6709 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2219, 21mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2322ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2524nn0cnd 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
26 2nn0 12494 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2927, 28nn0expcld 14214 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
30 0nn0 12492 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
31 ifcl 4574 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3229, 30, 31sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
3332nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
34 1nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
3628, 35nn0addcld 12541 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3727, 36nn0expcld 14214 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
38 ifcl 4574 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
3937, 30, 38sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„•0)
4039nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ β„‚)
4133, 40addcld 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ β„‚)
4225, 41addcld 11238 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ β„‚)
43 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
4443, 2sstrid 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
45 inss2 4230 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
46 ssfi 9176 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 9357 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
5022ffvelcdmi 7086 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5251nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
53 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5453, 3sstrid 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
55 inss2 4230 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
56 ssfi 9176 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 9357 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
6022ffvelcdmi 7086 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
6261nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
6352, 62addcld 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„‚)
64 ifcl 4574 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6529, 30, 64sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
67 ifcl 4574 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6829, 30, 67sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6968nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
7066, 69addcld 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ β„‚)
7163, 70addcld 11238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ β„‚)
7229nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
7372adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
74 0cnd 11212 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 0 ∈ β„‚)
7573, 74ifclda 4564 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 16402 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
7877ifbid 4552 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 16401 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
8027nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
8180, 28expp1d 14117 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
8272, 80mulcomd 11240 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 16396 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ β„‚ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)), (2 Β· (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 11446 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 11241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 11425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 11241 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 11447 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 16395 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐡), (2↑𝑁), 0)) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 16395 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 16395 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  haddwhad 1593  caddwcad 1606   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1oc1o 8462  2oc2o 8463  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  β„•0cn0 12477  ..^cfzo 13632  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  bitscbits 16365   sadd csad 16366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-bits 16368  df-sad 16397
This theorem is referenced by:  sadadd2  16406
  Copyright terms: Public domain W3C validator