Theorem sadadd2lem 16428

Description: Lemma for sadadd2 16429. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
3		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
4		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
5	2, 3, 4	sadfval 16421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
6		ssrab2 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
7	5, 6	eqsstrdi 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
8	1, 7	sstrid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9		fzofi 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11		inss2 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12		ssfi 9107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14		elfpw 9264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
15	8, 13, 14	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16		bitsf1o 16414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17		f1ocnv 6792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18		f1of 6780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	20	feq1i 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
22	19, 21	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
23	22	ffvelcdmi 7035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
24	15, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28		sadcp1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
29	27, 28	nn0expcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30		0nn0 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		ifcl 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
32	29, 30, 31	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34		1nn0 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
36	28, 35	nn0addcld 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	27, 36	nn0expcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38		ifcl 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
39	37, 30, 38	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
41	33, 40	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
42	25, 41	addcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43		inss1 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
44	43, 2	sstrid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45		inss2 4178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46		ssfi 9107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
47	10, 45, 46	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48		elfpw 9264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
49	44, 47, 48	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
50	22	ffvelcdmi 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53		inss1 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
54	53, 3	sstrid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55		inss2 4178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56		ssfi 9107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
57	10, 55, 56	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58		elfpw 9264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
59	54, 57, 58	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
60	22	ffvelcdmi 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
62	61	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
63	52, 62	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64		ifcl 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
65	29, 30, 64	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67		ifcl 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
68	29, 30, 67	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
69	68	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
70	66, 69	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
71	63, 70	addcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
72	29	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74		0cnd 11137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
75	73, 74	ifclda 4502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76		sadadd2lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
77	2, 3, 4, 28	sadval 16425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
78	77	ifbid 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0))
79	2, 3, 4, 28	sadcp1 16424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
80	27	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	80, 28	expp1d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
82	72, 80	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
83	81, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
84	79, 83	ifbieq1d 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
85	78, 84	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86		sadadd2lem2 16419	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
87	72, 86	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
88	85, 87	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
89	76, 88	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
90	25, 41, 75	add32d 11374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
91	63, 70, 75	addassd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))))
92	89, 90, 91	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
93	42, 71, 75, 92	addcan2ad 11352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
94	25, 33, 40	addassd 11167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
95	52, 66, 62, 69	add4d 11375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
96	93, 94, 95	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
97	20	bitsinvp1 16418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
98	7, 28, 97	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
99	98	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
100	20	bitsinvp1 16418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
101	2, 28, 100	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
102	20	bitsinvp1 16418	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
103	3, 28, 102	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104	101, 103	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐵, (2↑𝑁), 0))))
105	96, 99, 104	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  𝒫 cpw 4541   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399  Fincfn 8893  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  bitscbits 16388   sadd csad 16389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-bits 16391  df-sad 16420

This theorem is referenced by:  sadadd2  16429