MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem 16493
Description: Lemma for sadadd2 16494. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4245 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
52, 3, 4sadfval 16486 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
6 ssrab2 4090 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ⊆ ℕ0
75, 6eqsstrdi 4050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
81, 7sstrid 4007 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9 fzofi 14012 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4246 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12 ssfi 9212 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 9392 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 16479 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18 f1of 6849 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
2120feq1i 6728 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2219, 21mpbir 231 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2322ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26 2nn0 12541 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2927, 28nn0expcld 14282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30 0nn0 12539 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
31 ifcl 4576 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34 1nn0 12540 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
3628, 35nn0addcld 12589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3727, 36nn0expcld 14282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38 ifcl 4576 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
3937, 30, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
4133, 40addcld 11278 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
4225, 41addcld 11278 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43 inss1 4245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
4443, 2sstrid 4007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45 inss2 4246 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46 ssfi 9212 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 9392 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5022ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53 inss1 4245 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
5453, 3sstrid 4007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55 inss2 4246 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56 ssfi 9212 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 9392 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
6022ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6261nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
6352, 62addcld 11278 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64 ifcl 4576 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6529, 30, 64sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67 ifcl 4576 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6829, 30, 67sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
7066, 69addcld 11278 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
7163, 70addcld 11278 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
7229nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
7372adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74 0cnd 11252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
7573, 74ifclda 4566 . . . 4 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 16490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
7877ifbid 4554 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 16489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
8027nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8180, 28expp1d 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8272, 80mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4555 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 16484 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 11487 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 11281 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2785 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 11465 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 11281 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 11488 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2785 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 16483 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 16483 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 16483 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2785 1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  haddwhad 1590  caddwcad 1603  wcel 2106  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  cmpt 5231  ccnv 5688  cres 5691  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  2c2 12319  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039  cexp 14099  bitscbits 16453   sadd csad 16454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-had 1591  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-bits 16456  df-sad 16485
This theorem is referenced by:  sadadd2  16494
  Copyright terms: Public domain W3C validator