Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qirropth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qirropth 41646
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 4128 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
213ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
32adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
4 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
54eldifad 3961 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
8 qcn 12947 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
12 qcn 12947 . . . . . . . . . . . 12 (๐ธ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
145, 9, 13subdid 11670 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
15 qsubcl 12952 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
167, 11, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
17 qcn 12947 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1918, 5mulcomd 11235 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)))
20 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
21 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
23 qcn 12947 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
255, 9mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
28 qcn 12947 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„š โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
305, 13mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 11622 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ))))
3220, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
3314, 19, 323eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
34 qsubcl 12952 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
3527, 22, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
36 qcn 12947 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
38 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ยฌ ๐ถ = ๐ธ)
39 subeq0 11486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) = 0 โ†” ๐ถ = ๐ธ))
4039necon3abid 2978 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
419, 13, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
4238, 41mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0)
4337, 18, 5, 42divmuld 12012 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต)))
4433, 43mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด)
45 qdivcl 12954 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4635, 16, 42, 45syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4744, 46eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
4847ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (ยฌ ๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
493, 48mt3d 148 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
50 simpl2l 1227 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5150, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5251adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53 simpl3l 1229 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
5453, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5554adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
56 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
5756eldifad 3961 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
58 simpl3r 1230 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
5958, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6057, 59mulcld 11234 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
6160adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
62 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6362eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ = ๐ถ)
6463oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐ถ))
6564oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)))
66 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6765, 66eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6852, 55, 61, 67addcan2ad 11420 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
6968ex 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ต = ๐ท))
7049, 69jcai 518 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐ท))
7170ancomd 463 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ))
7271ex 414 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
73 id 22 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท)
74 oveq2 7417 . . 3 (๐ถ = ๐ธ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ธ))
7573, 74oveqan12d 7428 . 2 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
7672, 75impbid1 224 1 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„šcq 12932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-q 12933
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  41650  rmxycomplete  41656  rmxyneg  41659  rmxyadd  41660  rmxy1  41661  rmxy0  41662  jm2.22  41734
  Copyright terms: Public domain W3C validator