Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qirropth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qirropth 41948
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 4126 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
213ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
32adantr 479 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
4 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
54eldifad 3959 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simp2r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
76ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
8 qcn 12951 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
1110ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
12 qcn 12951 . . . . . . . . . . . 12 (๐ธ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
145, 9, 13subdid 11674 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
15 qsubcl 12956 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
167, 11, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
17 qcn 12951 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1918, 5mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)))
20 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
21 simp2l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
2221ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
23 qcn 12951 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
255, 9mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
2726ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
28 qcn 12951 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„š โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
305, 13mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 11626 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ))))
3220, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
3314, 19, 323eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
34 qsubcl 12956 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
3527, 22, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
36 qcn 12951 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ยฌ ๐ถ = ๐ธ)
39 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) = 0 โ†” ๐ถ = ๐ธ))
4039necon3abid 2975 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
419, 13, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0)
4337, 18, 5, 42divmuld 12016 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต)))
4433, 43mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด)
45 qdivcl 12958 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4635, 16, 42, 45syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4744, 46eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
4847ex 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (ยฌ ๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
493, 48mt3d 148 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
50 simpl2l 1224 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5150, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5251adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53 simpl3l 1226 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
5453, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5554adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
56 simpl1 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
5756eldifad 3959 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
58 simpl3r 1227 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
5958, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6057, 59mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
6160adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
62 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6362eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ = ๐ถ)
6463oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐ถ))
6564oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)))
66 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6765, 66eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6852, 55, 61, 67addcan2ad 11424 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
6968ex 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ต = ๐ท))
7049, 69jcai 515 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐ท))
7170ancomd 460 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ))
7271ex 411 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
73 id 22 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท)
74 oveq2 7419 . . 3 (๐ถ = ๐ธ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ธ))
7573, 74oveqan12d 7430 . 2 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
7672, 75impbid1 224 1 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„šcq 12936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-q 12937
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  41952  rmxycomplete  41958  rmxyneg  41961  rmxyadd  41962  rmxy1  41963  rmxy0  41964  jm2.22  42036
  Copyright terms: Public domain W3C validator