Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qirropth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qirropth 41208
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 4087 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
32adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
4 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
54eldifad 3922 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
8 qcn 12887 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
12 qcn 12887 . . . . . . . . . . . 12 (๐ธ โˆˆ โ„š โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
145, 9, 13subdid 11610 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
15 qsubcl 12892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
167, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š)
17 qcn 12887 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1918, 5mulcomd 11175 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ โˆ’ ๐ธ)))
20 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
21 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
23 qcn 12887 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
255, 9mulcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
28 qcn 12887 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„š โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
305, 13mulcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 11562 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ))))
3220, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
3314, 19, 323eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
34 qsubcl 12892 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
3527, 22, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
36 qcn 12887 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
38 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ยฌ ๐ถ = ๐ธ)
39 subeq0 11426 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) = 0 โ†” ๐ถ = ๐ธ))
4039necon3abid 2980 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
419, 13, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ = ๐ธ))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0)
4337, 18, 5, 42divmuld 11952 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ธ) ยท ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ต)))
4433, 43mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) = ๐ด)
45 qdivcl 12894 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ธ) โ‰  0) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4635, 16, 42, 45syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ธ)) โˆˆ โ„š)
4744, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ยฌ ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
4847ex 413 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (ยฌ ๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
493, 48mt3d 148 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
50 simpl2l 1226 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5150, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53 simpl3l 1228 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
5453, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5554adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
56 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
5756eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
58 simpl3r 1229 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„š)
5958, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6057, 59mulcld 11174 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
6160adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
62 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6362eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ธ = ๐ถ)
6463oveq2d 7372 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐ถ))
6564oveq2d 7372 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)))
66 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6765, 66eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
6852, 55, 61, 67addcan2ad 11360 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
6968ex 413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ต = ๐ท))
7049, 69jcai 517 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐ท))
7170ancomd 462 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โˆง (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ))) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ))
7271ex 413 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
73 id 22 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท)
74 oveq2 7364 . . 3 (๐ถ = ๐ธ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ธ))
7573, 74oveqan12d 7375 . 2 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)))
7672, 75impbid1 224 1 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ท โˆˆ โ„š โˆง ๐ธ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐ต + (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ท + (๐ด ยท ๐ธ)) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943   โˆ– cdif 3907  (class class class)co 7356  โ„‚cc 11048  0cc0 11050   + caddc 11053   ยท cmul 11055   โˆ’ cmin 11384   / cdiv 11811  โ„šcq 12872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-q 12873
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  41212  rmxycomplete  41218  rmxyneg  41221  rmxyadd  41222  rmxy1  41223  rmxy0  41224  jm2.22  41296
  Copyright terms: Public domain W3C validator