MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1lem2 16899
Description: Lemma for ramub1 16900. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
ramub1.3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramub1.4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
ramub1.5 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
ramub1.6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramub1.x (𝜑𝑋𝑆)
ramub1.h 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑐,𝑦,𝑧,𝐹   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝐺,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables 𝑑 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12454 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5 ramub1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
6 ramub1.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
7 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
8 ramub1.4 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
9 diffi 9123 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
117nn0red 12474 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℝ)
1211leidd 11721 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
13 hashcl 14256 . . . . . . 7 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12475 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℂ)
167nn0cnd 12475 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℂ)
17 1cnd 11150 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 undif1 4435 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = (𝑆 ∪ {𝑋})
19 ramub1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
2019snssd 4769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
21 ssequn2 4143 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2220, 21sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2318, 22eqtrid 2788 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2423fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = (♯‘𝑆))
25 neldifsnd 4753 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
26 hashunsng 14292 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2810, 25, 27mp2and 697 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1))
29 ramub1.5 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3024, 28, 293eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3115, 16, 17, 30addcan2ad 11361 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) = ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
3212, 31breqtrrd 5133 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})))
33 ramub1.6 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
35 fveqeq2 6851 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑢 ∪ {𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀))
361hashbcval 16874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3710, 4, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3837eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)}))
39 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((♯‘𝑥) = (𝑀 − 1) ↔ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
4039elrab 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
4138, 40bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))))
4241simprbda 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
4342elpwid 4569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
4443difss2d 4094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢𝑆)
4520adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
4644, 45unssd 4146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
47 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
48 snex 5388 . . . . . . . . . 10 {𝑋} ∈ V
4947, 48unex 7680 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ V
5049elpw 4564 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
5146, 50sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆)
5210adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
5352, 43ssfid 9211 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ Fin)
54 neldifsnd 4753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5543, 54ssneldd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋𝑢)
5619adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑋𝑆)
57 hashunsng 14292 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆 → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
5953, 55, 58mp2and 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1))
6041simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))
6160oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
622nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
64 npcan 11410 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6562, 63, 64sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6759, 61, 663eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀)
6835, 51, 67elrabd 3647 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
692nnnn0d 12473 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
701hashbcval 16874 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
718, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7271adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7368, 72eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ (𝑆𝐶𝑀))
7434, 73ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑅)
75 ramub1.h . . . 4 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
7674, 75fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐻:((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))⟶𝑅)
771, 4, 5, 6, 7, 10, 32, 76rami 16887 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))
7869adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
795adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑅 ∈ Fin)
80 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
82 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑑𝑅)
8381, 82ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐹𝑑) ∈ ℕ)
84 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑) ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8685adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8781ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ)
8887nnnn0d 12473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
8986, 88ifcld 4532 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) ∈ ℕ0)
90 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
9189, 90fmptd 7062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
92 equequ2 2029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑑))
93 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑑))
9493oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → ((𝐹𝑥) − 1) = ((𝐹𝑑) − 1))
9592, 94ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
9695mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))))
9796oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
98 ramub1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
99 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑑𝑅 → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
10182, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
1026adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
103102, 82ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ∈ ℕ0)
104101, 103eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ ℕ0)
105 simprlr 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
106 simprrl 779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
107101, 106eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ≤ (♯‘𝑤))
10833adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
1098adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑆 ∈ Fin)
110105elpwid 4569 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
111110difss2d 4094 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤𝑆)
1121hashbcss 16876 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑆𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
113109, 111, 78, 112syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
114108, 113fssresd 6709 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)):(𝑤𝐶𝑀)⟶𝑅)
1151, 78, 79, 91, 104, 105, 107, 114rami 16887 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))
116 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 = 𝑑𝑐 = 𝑑))
117 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
118116, 117ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑐 → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
119 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑑) − 1) ∈ V
120 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝑐) ∈ V
121119, 120ifex 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ∈ V
122118, 90, 121fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
123122ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
124123breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ↔ if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣)))
125124anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) ↔ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))))
1262ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑀 ∈ ℕ)
1275ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑅 ∈ Fin)
12880ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
1296ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
1307ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
1318ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑆 ∈ Fin)
13229ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
13333ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
13419ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑋𝑆)
13582adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑑𝑅)
136110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
137106adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
138 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
139138adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
140 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑐𝑅)
141 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)
142141elpwid 4569 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣𝑤)
143 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣))
144 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
145 cnvresima 6182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀))
146 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀)) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
147145, 146eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
148144, 147sstrdi 3956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))
149126, 127, 128, 98, 129, 130, 1, 131, 132, 133, 134, 75, 135, 136, 137, 139, 140, 142, 143, 148ramub1lem1 16898 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
150149expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
151125, 150sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
152151anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
153152rexlimdva 3152 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) → (∃𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
154153reximdva 3165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
155115, 154mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
156155expr 457 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
157156rexlimdvva 3205 . 2 (𝜑 → (∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
15877, 157mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  chash 14230   Ramsey cram 16871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-ram 16873
This theorem is referenced by:  ramub1  16900
  Copyright terms: Public domain W3C validator