MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1lem2 16010
Description: Lemma for ramub1 16011. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
ramub1.3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramub1.4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
ramub1.5 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
ramub1.6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramub1.x (𝜑𝑋𝑆)
ramub1.h 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑐,𝑦,𝑧,𝐹   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝐺,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables 𝑑 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11581 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5 ramub1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
6 ramub1.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
7 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
8 ramub1.4 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
9 diffi 8399 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
117nn0red 11599 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℝ)
1211leidd 10848 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
13 hashcl 13349 . . . . . . 7 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11600 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℂ)
167nn0cnd 11600 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℂ)
17 1cnd 10288 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 undif1 4203 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = (𝑆 ∪ {𝑋})
19 ramub1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
2019snssd 4494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
21 ssequn2 3948 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2220, 21sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2318, 22syl5eq 2811 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2423fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = (♯‘𝑆))
25 neldifsnd 4478 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
26 hashunsng 13383 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2810, 25, 27mp2and 690 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1))
29 ramub1.5 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3024, 28, 293eqtr3d 2807 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3115, 16, 17, 30addcan2ad 10496 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) = ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
3212, 31breqtrrd 4837 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})))
33 ramub1.6 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
3433adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
351hashbcval 15985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3610, 4, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3736eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)}))
38 fveqeq2 6384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((♯‘𝑥) = (𝑀 − 1) ↔ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
3938elrab 3519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
4037, 39syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))))
4140simprbda 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
4241elpwid 4327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
4342difss2d 3902 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢𝑆)
4420adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
4543, 44unssd 3951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
46 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
47 snex 5064 . . . . . . . . . 10 {𝑋} ∈ V
4846, 47unex 7154 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ V
4948elpw 4321 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
5045, 49sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆)
5110adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
52 ssfi 8387 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑢 ∈ Fin)
5351, 42, 52syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ Fin)
54 neldifsnd 4478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5542, 54ssneldd 3764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋𝑢)
5619adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑋𝑆)
57 hashunsng 13383 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆 → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
5953, 55, 58mp2and 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1))
6040simplbda 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))
6160oveq1d 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
622nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
64 npcan 10544 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6562, 63, 64sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6665adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6759, 61, 663eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀)
68 fveqeq2 6384 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑢 ∪ {𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀))
6968elrab 3519 . . . . . . 7 ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ↔ ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀))
7050, 67, 69sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
712nnnn0d 11598 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
721hashbcval 15985 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
738, 71, 72syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7473adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7570, 74eleqtrrd 2847 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ (𝑆𝐶𝑀))
7634, 75ffvelrnd 6550 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑅)
77 ramub1.h . . . 4 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
7876, 77fmptd 6574 . . 3 (𝜑𝐻:((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))⟶𝑅)
791, 4, 5, 6, 7, 10, 32, 78rami 15998 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))
8071adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
815adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑅 ∈ Fin)
82 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
8382adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
84 simprll 797 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑑𝑅)
8583, 84ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐹𝑑) ∈ ℕ)
86 nnm1nn0 11581 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑) ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8887adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8983ffvelrnda 6549 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ)
9089nnnn0d 11598 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
9188, 90ifcld 4288 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) ∈ ℕ0)
92 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
9391, 92fmptd 6574 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
94 equequ2 2123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑑))
95 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑑))
9695oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → ((𝐹𝑥) − 1) = ((𝐹𝑑) − 1))
9794, 96ifbieq1d 4266 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
9897mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))))
9998oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
100 ramub1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
101 ovex 6874 . . . . . . . . 9 (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ V
10299, 100, 101fvmpt 6471 . . . . . . . 8 (𝑑𝑅 → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
10384, 102syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
1046adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
105104, 84ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ∈ ℕ0)
106103, 105eqeltrrd 2845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ ℕ0)
107 simprlr 798 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
108 simprrl 799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
109103, 108eqbrtrrd 4833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ≤ (♯‘𝑤))
11033adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
1118adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑆 ∈ Fin)
112107elpwid 4327 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
113112difss2d 3902 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤𝑆)
1141hashbcss 15987 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑆𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
115111, 113, 80, 114syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
116110, 115fssresd 6253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)):(𝑤𝐶𝑀)⟶𝑅)
1171, 80, 81, 93, 106, 107, 109, 116rami 15998 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))
118 equequ1 2122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 = 𝑑𝑐 = 𝑑))
119 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
120118, 119ifbieq2d 4268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑐 → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
121 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑑) − 1) ∈ V
122 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝑐) ∈ V
123121, 122ifex 4291 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ∈ V
124120, 92, 123fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
125124ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
126125breq1d 4819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ↔ if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣)))
127126anbi1d 623 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) ↔ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))))
1282ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑀 ∈ ℕ)
1295ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑅 ∈ Fin)
13082ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
1316ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
1327ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
1338ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑆 ∈ Fin)
13429ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
13533ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
13619ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑋𝑆)
13784adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑑𝑅)
138112adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
139108adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
140 simprrr 800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
141140adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
142 simprll 797 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑐𝑅)
143 simprlr 798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)
144143elpwid 4327 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣𝑤)
145 simprrl 799 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣))
146 simprrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
147 cnvresima 5809 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀))
148 inss1 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀)) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
149147, 148eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
150146, 149syl6ss 3773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))
151128, 129, 130, 100, 131, 132, 1, 133, 134, 135, 136, 77, 137, 138, 139, 141, 142, 144, 145, 150ramub1lem1 16009 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
152151expr 448 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
153127, 152sylbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
154153anassrs 459 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
155154rexlimdva 3178 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) → (∃𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
156155reximdva 3163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
157117, 156mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
158157expr 448 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
159158rexlimdvva 3185 . 2 (𝜑 → (∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
16079, 159mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  ifcif 4243  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  cres 5279  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Fincfn 8160  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  chash 13321   Ramsey cram 15982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-hash 13322  df-ram 15984
This theorem is referenced by:  ramub1  16011
  Copyright terms: Public domain W3C validator