Theorem addgt0ii 11720

Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
addgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
addgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
addgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem addgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		addgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	addgt0i 11717	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 692	1 ⊢ 0 < (𝐴 + 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  eqneg  11902  2pos  12289  3pos  12291  4pos  12293  5pos  12295  6pos  12296  7pos  12297  8pos  12298  9pos  12299