MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pos 11737
Description: The number 2 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
2pos 0 < 2

Proof of Theorem 2pos
StepHypRef Expression
1 1re 10639 . . 3 1 ∈ ℝ
2 0lt1 11160 . . 3 0 < 1
31, 1, 2, 2addgt0ii 11180 . 2 0 < (1 + 1)
4 df-2 11697 . 2 2 = (1 + 1)
53, 4breqtrri 5079 1 0 < 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  2c2 11689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-2 11697
This theorem is referenced by:  2ne0  11738  3pos  11739  halfgt0  11850  halflt1  11852  halfpos2  11863  halfnneg2  11865  nominpos  11871  avglt1  11872  avglt2  11873  nn0n0n1ge2b  11960  3halfnz  12058  2rp  12391  hashgt23el  13790  s3fv0  14253  sqreulem  14719  cos2bnd  15541  sin02gt0  15545  sincos2sgn  15547  sin4lt0  15548  epos  15560  sqrt2re  15603  nnoddm1d2  15735  2mulprm  16035  prmgaplem7  16391  odrngstr  16679  imasvalstr  16725  psgnunilem2  18623  cnfldstr  20547  cnfldfun  20557  bl2in  23010  iihalf1  23539  iihalf2  23541  pcoass  23632  tcphcphlem1  23842  trirn  24007  minveclem2  24033  minveclem4  24039  ovolunlem1a  24103  vitalilem4  24218  mbfi1fseqlem5  24326  pilem2  25050  pilem3  25051  pipos  25056  sinhalfpilem  25059  sincosq1lem  25093  tangtx  25101  sinq12gt0  25103  sincos6thpi  25111  cosordlem  25125  tanord1  25132  efif1olem2  25138  efif1olem4  25140  cxpcn3lem  25339  ang180lem1  25398  ang180lem2  25399  atantan  25512  atanbndlem  25514  atans2  25520  leibpi  25531  log2tlbnd  25534  basellem1  25669  basellem2  25670  basellem3  25671  ppiltx  25765  ppiub  25791  chtublem  25798  chtub  25799  chpval2  25805  bcmono  25864  bpos1lem  25869  bposlem1  25871  bposlem2  25872  bposlem3  25873  bposlem4  25874  bposlem5  25875  bposlem6  25876  bposlem7  25877  gausslemma2dlem0c  25945  gausslemma2dlem1a  25952  gausslemma2dlem2  25954  gausslemma2dlem3  25955  lgseisenlem1  25962  lgseisenlem2  25963  lgseisenlem3  25964  lgsquadlem1  25967  lgsquadlem2  25968  2lgslem1a1  25976  2lgslem1a2  25977  2lgslem1c  25980  chebbnd1lem1  26056  chebbnd1lem2  26057  chebbnd1lem3  26058  chebbnd1  26059  chtppilimlem1  26060  chtppilimlem2  26061  chtppilim  26062  chebbnd2  26064  chto1lb  26065  chpchtlim  26066  chpo1ub  26067  dchrisum0fno1  26098  mulog2sumlem2  26122  selberglem2  26133  selberg2lem  26137  chpdifbndlem1  26140  logdivbnd  26143  pntrsumo1  26152  pntpbnd1a  26172  pntlemh  26186  pntlemr  26189  pntlemk  26193  pntlemo  26194  pnt2  26200  umgrislfupgrlem  26918  lfgrnloop  26921  lfuhgr1v0e  27047  wwlksnextwrd  27686  wwlksnextfun  27687  wwlksnextinj  27688  clwlkclwwlklem2a2  27781  konigsberg  28045  ex-fl  28235  minvecolem2  28661  minvecolem4  28666  bcsiALT  28965  opsqrlem6  29931  cdj3lem1  30220  wrdt2ind  30638  cyc2fv2  30796  sqsscirc1  31208  omssubadd  31615  signslema  31889  hgt750lem  31979  subfacval3  32493  nn0prpwlem  33727  knoppndvlem18  33925  knoppndvlem19  33926  knoppndvlem21  33928  cnndvlem1  33933  iccioo01  34686  sin2h  34992  cos2h  34993  tan2h  34994  itg2addnclem  35053  2ap1caineq  39295  oexpreposd  39417  pellfundex  39743  jm2.22  39852  jm2.23  39853  imo72b2lem0  40788  sumnnodd  42198  sinaover2ne0  42436  stoweidlem14  42582  stoweidlem49  42617  stoweidlem52  42620  wallispilem4  42636  wallispi2lem2  42640  stirlinglem6  42647  stirlinglem15  42656  stirlingr  42658  dirkerval2  42662  dirkertrigeqlem3  42668  dirkercncflem4  42674  fourierdlem24  42699  fourierdlem79  42753  fourierdlem103  42777  fourierdlem104  42778  fourierdlem112  42786  fourierswlem  42798  fouriersw  42799  lighneallem4a  44052  nnoALTV  44139  nn0oALTV  44140  nn0e  44141  nneven  44142  evengpoap3  44243  nn0eo  44868  flnn0div2ge  44873  fldivexpfllog2  44905  fllog2  44908  blennngt2o2  44932  dignn0flhalf  44958
  Copyright terms: Public domain W3C validator