Theorem 2pos 12006

Description: The number 2 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
2pos	⊢ 0 < 2

Proof of Theorem 2pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11427	. . 3 ⊢ 0 < 1
3	1, 1, 2, 2	addgt0ii 11447	. 2 ⊢ 0 < (1 + 1)
4		df-2 11966	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	breqtrri 5097	1 ⊢ 0 < 2

Syntax hints:   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-2 11966

This theorem is referenced by:  2ne0  12007  3pos  12008  halfgt0  12119  halflt1  12121  halfpos2  12132  halfnneg2  12134  nominpos  12140  avglt1  12141  avglt2  12142  nn0n0n1ge2b  12231  3halfnz  12329  2rp  12664  hashgt23el  14067  s3fv0  14532  sqreulem  14999  cos2bnd  15825  sin02gt0  15829  sincos2sgn  15831  sin4lt0  15832  epos  15844  sqrt2re  15887  nnoddm1d2  16023  2mulprm  16326  prmgaplem7  16686  odrngstr  17032  imasvalstr  17079  psgnunilem2  19018  cnfldstr  20512  cnfldfun  20522  bl2in  23461  iihalf1  24000  iihalf2  24002  pcoass  24093  tcphcphlem1  24304  trirn  24469  minveclem2  24495  minveclem4  24501  ovolunlem1a  24565  vitalilem4  24680  mbfi1fseqlem5  24789  pilem2  25516  pilem3  25517  pipos  25522  sinhalfpilem  25525  sincosq1lem  25559  tangtx  25567  sinq12gt0  25569  sincos6thpi  25577  cosordlem  25591  tanord1  25598  efif1olem2  25604  efif1olem4  25606  cxpcn3lem  25805  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  atantan  25978  atanbndlem  25980  atans2  25986  leibpi  25997  log2tlbnd  26000  basellem1  26135  basellem2  26136  basellem3  26137  ppiltx  26231  ppiub  26257  chtublem  26264  chtub  26265  chpval2  26271  bcmono  26330  bpos1lem  26335  bposlem1  26337  bposlem2  26338  bposlem3  26339  bposlem4  26340  bposlem5  26341  bposlem6  26342  bposlem7  26343  gausslemma2dlem0c  26411  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem2  26420  gausslemma2dlem3  26421  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  2lgslem1a1  26442  2lgslem1a2  26443  2lgslem1c  26446  chebbnd1lem1  26522  chebbnd1lem2  26523  chebbnd1lem3  26524  chebbnd1  26525  chtppilimlem1  26526  chtppilimlem2  26527  chtppilim  26528  chebbnd2  26530  chto1lb  26531  chpchtlim  26532  chpo1ub  26533  dchrisum0fno1  26564  mulog2sumlem2  26588  selberglem2  26599  selberg2lem  26603  chpdifbndlem1  26606  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntpbnd1a  26638  pntlemh  26652  pntlemr  26655  pntlemk  26659  pntlemo  26660  pnt2  26666  umgrislfupgrlem  27395  lfgrnloop  27398  lfuhgr1v0e  27524  wwlksnextwrd  28163  wwlksnextfun  28164  wwlksnextinj  28165  clwlkclwwlklem2a2  28258  konigsberg  28522  ex-fl  28712  minvecolem2  29138  minvecolem4  29143  bcsiALT  29442  opsqrlem6  30408  cdj3lem1  30697  wrdt2ind  31127  cyc2fv2  31291  sqsscirc1  31760  omssubadd  32167  signslema  32441  hgt750lem  32531  subfacval3  33051  nn0prpwlem  34438  knoppndvlem18  34636  knoppndvlem19  34637  knoppndvlem21  34639  cnndvlem1  34644  iccioo01  35425  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  itg2addnclem  35755  3lexlogpow5ineq2  39991  3lexlogpow5ineq4  39992  3lexlogpow5ineq3  39993  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  3lexlogpow5ineq5  39996  aks4d1lem1  39998  aks4d1p1p3  40005  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p1  40012  aks4d1p2  40013  aks4d1p3  40014  aks4d1p5  40016  aks4d1p6  40017  aks4d1p7d1  40018  aks4d1p7  40019  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  2ap1caineq  40029  oexpreposd  40242  pellfundex  40624  jm2.22  40733  jm2.23  40734  imo72b2lem0  41665  sumnnodd  43061  sinaover2ne0  43299  stoweidlem14  43445  stoweidlem49  43480  stoweidlem52  43483  wallispilem4  43499  wallispi2lem2  43503  stirlinglem6  43510  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  dirkerval2  43525  dirkertrigeqlem3  43531  dirkercncflem4  43537  fourierdlem24  43562  fourierdlem79  43616  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem112  43649  fourierswlem  43661  fouriersw  43662  lighneallem4a  44948  nnoALTV  45035  nn0oALTV  45036  nn0e  45037  nneven  45038  evengpoap3  45139  nn0eo  45762  flnn0div2ge  45767  fldivexpfllog2  45799  fllog2  45802  blennngt2o2  45826  dignn0flhalf  45852  sepfsepc  46109