Theorem 4pos 12341

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12314	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11236	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12339	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11758	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11778	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12299	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5169	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  3c3 12290  4c4 12291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299

This theorem is referenced by:  4ne0  12342  5pos  12343  div4p1lem1div2  12489  fldiv4p1lem1div2  13824  iexpcyc  14194  discr  14226  faclbnd2  14274  sqrt2gt1lt2  15245  flodddiv4  16381  slotsdifplendx2  17389  pcoass  24938  csbren  25314  minveclem2  25341  dveflem  25898  sincos4thpi  26435  log2cnv  26863  chtublem  27131  bposlem6  27209  gausslemma2dlem0d  27279  2sqlem11  27349  chebbnd1lem3  27391  chebbnd1  27392  pntibndlem1  27509  pntlemb  27517  pntlemg  27518  pntlemr  27522  pntlemf  27525  usgrexmplef  29059  upgr4cycl4dv4e  29982  minvecolem2  30672  minvecolem3  30673  normlem6  30912  sqsscirc1  33445  hgt750lem  34219  iccioo01  36742  lcmineqlem23  41459  3lexlogpow2ineq2  41467  aks4d1p1p7  41482  aks4d1p1p5  41483  limclner  44962  stoweid  45374  stirlinglem10  45394  stirlinglem12  45396  bgoldbtbndlem3  47070  itsclc0yqsollem2  47759  itscnhlinecirc02plem1  47778