Theorem 4pos 12347

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12320	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12345	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11759	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11779	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12305	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5146	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269  3c3 12296  4c4 12297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305

This theorem is referenced by:  5pos  12349  div4p1lem1div2  12496  fldiv4p1lem1div2  13852  iexpcyc  14225  discr  14258  faclbnd2  14309  sqrt2gt1lt2  15293  flodddiv4  16434  slotsdifplendx2  17430  pcoass  24975  csbren  25351  minveclem2  25378  dveflem  25935  sincos4thpi  26474  log2cnv  26906  chtublem  27174  bposlem6  27252  gausslemma2dlem0d  27322  2sqlem11  27392  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  pntibndlem1  27552  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemf  27568  usgrexmplef  29238  upgr4cycl4dv4e  30166  minvecolem2  30856  minvecolem3  30857  normlem6  31096  sqsscirc1  33939  hgt750lem  34683  iccioo01  37345  lcmineqlem23  42064  3lexlogpow2ineq2  42072  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p1p5  42088  4rp  42349  limclner  45680  stoweid  46092  stirlinglem10  46112  stirlinglem12  46114  bgoldbtbndlem3  47821  usgrexmpl1lem  48025  usgrexmpl2lem  48030  usgrexmpl2nb0  48035  usgrexmpl2trifr  48041  gpgprismgr4cycllem6  48099  gpgprismgr4cycllem7  48100  gpgprismgr4cycllem10  48103  itsclc0yqsollem2  48743  itscnhlinecirc02plem1  48762