Theorem 4pos 12091

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12064	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 10986	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12089	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11508	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11528	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12049	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5106	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   < clt 11020  3c3 12040  4c4 12041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049

This theorem is referenced by:  4ne0  12092  5pos  12093  div4p1lem1div2  12239  fldiv4p1lem1div2  13566  iexpcyc  13934  discr  13966  faclbnd2  14016  sqrt2gt1lt2  14997  flodddiv4  16133  slotsdifplendx2  17138  pcoass  24198  csbren  24574  minveclem2  24601  dveflem  25154  sincos4thpi  25681  log2cnv  26105  chtublem  26370  bposlem6  26448  gausslemma2dlem0d  26518  2sqlem11  26588  chebbnd1lem3  26630  chebbnd1  26631  pntibndlem1  26748  pntlemb  26756  pntlemg  26757  pntlemr  26761  pntlemf  26764  usgrexmplef  27637  upgr4cycl4dv4e  28558  minvecolem2  29246  minvecolem3  29247  normlem6  29486  sqsscirc1  31867  hgt750lem  32640  iccioo01  35507  lcmineqlem23  40068  3lexlogpow2ineq2  40076  aks4d1p1p7  40091  aks4d1p1p5  40092  limclner  43174  stoweid  43586  stirlinglem10  43606  stirlinglem12  43608  bgoldbtbndlem3  45238  itsclc0yqsollem2  46088  itscnhlinecirc02plem1  46107