Theorem 4pos 12293

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12266	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11174	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12291	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11700	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11720	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12251	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5134	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208  3c3 12242  4c4 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251

This theorem is referenced by:  5pos  12295  div4p1lem1div2  12437  fldiv4p1lem1div2  13797  iexpcyc  14172  discr  14205  faclbnd2  14256  sqrt2gt1lt2  15240  flodddiv4  16385  slotsdifplendx2  17379  pcoass  24924  csbren  25299  minveclem2  25326  dveflem  25883  sincos4thpi  26422  log2cnv  26854  chtublem  27122  bposlem6  27200  gausslemma2dlem0d  27270  2sqlem11  27340  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  pntibndlem1  27500  pntlemb  27508  pntlemg  27509  pntlemr  27513  pntlemf  27516  usgrexmplef  29186  upgr4cycl4dv4e  30114  minvecolem2  30804  minvecolem3  30805  normlem6  31044  sqsscirc1  33898  hgt750lem  34642  iccioo01  37315  lcmineqlem23  42039  3lexlogpow2ineq2  42047  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  4rp  42288  limclner  45649  stoweid  46061  stirlinglem10  46081  stirlinglem12  46083  bgoldbtbndlem3  47808  usgrexmpl1lem  48012  usgrexmpl2lem  48017  usgrexmpl2nb0  48022  usgrexmpl2trifr  48028  gpgprismgr4cycllem6  48090  gpgprismgr4cycllem7  48091  gpgprismgr4cycllem10  48094  pgnbgreunbgrlem2lem3  48106  itsclc0yqsollem2  48752  itscnhlinecirc02plem1  48771