Theorem 4pos 12300

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12273	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12298	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11707	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11727	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12258	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5137	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215  3c3 12249  4c4 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258

This theorem is referenced by:  5pos  12302  div4p1lem1div2  12444  fldiv4p1lem1div2  13804  iexpcyc  14179  discr  14212  faclbnd2  14263  sqrt2gt1lt2  15247  flodddiv4  16392  slotsdifplendx2  17386  pcoass  24931  csbren  25306  minveclem2  25333  dveflem  25890  sincos4thpi  26429  log2cnv  26861  chtublem  27129  bposlem6  27207  gausslemma2dlem0d  27277  2sqlem11  27347  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  pntibndlem1  27507  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemr  27520  pntlemf  27523  usgrexmplef  29193  upgr4cycl4dv4e  30121  minvecolem2  30811  minvecolem3  30812  normlem6  31051  sqsscirc1  33905  hgt750lem  34649  iccioo01  37322  lcmineqlem23  42046  3lexlogpow2ineq2  42054  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  4rp  42295  limclner  45656  stoweid  46068  stirlinglem10  46088  stirlinglem12  46090  bgoldbtbndlem3  47812  usgrexmpl1lem  48016  usgrexmpl2lem  48021  usgrexmpl2nb0  48026  usgrexmpl2trifr  48032  gpgprismgr4cycllem6  48094  gpgprismgr4cycllem7  48095  gpgprismgr4cycllem10  48098  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  itsclc0yqsollem2  48756  itscnhlinecirc02plem1  48775