Theorem 4pos 12317

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12290	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11212	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12315	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11734	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11754	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12275	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5166	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11246  3c3 12266  4c4 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275

This theorem is referenced by:  4ne0  12318  5pos  12319  div4p1lem1div2  12465  fldiv4p1lem1div2  13798  iexpcyc  14169  discr  14201  faclbnd2  14249  sqrt2gt1lt2  15219  flodddiv4  16355  slotsdifplendx2  17363  pcoass  24875  csbren  25251  minveclem2  25278  dveflem  25835  sincos4thpi  26367  log2cnv  26795  chtublem  27063  bposlem6  27141  gausslemma2dlem0d  27211  2sqlem11  27281  chebbnd1lem3  27323  chebbnd1  27324  pntibndlem1  27441  pntlemb  27449  pntlemg  27450  pntlemr  27454  pntlemf  27457  usgrexmplef  28988  upgr4cycl4dv4e  29910  minvecolem2  30600  minvecolem3  30601  normlem6  30840  sqsscirc1  33380  hgt750lem  34154  iccioo01  36699  lcmineqlem23  41413  3lexlogpow2ineq2  41421  aks4d1p1p7  41436  aks4d1p1p5  41437  limclner  44877  stoweid  45289  stirlinglem10  45309  stirlinglem12  45311  bgoldbtbndlem3  46985  itsclc0yqsollem2  47662  itscnhlinecirc02plem1  47681