Theorem 4pos 12373

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12346	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12371	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11785	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11805	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12331	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5170	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  3c3 12322  4c4 12323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331

This theorem is referenced by:  4ne0  12374  5pos  12375  div4p1lem1div2  12521  fldiv4p1lem1div2  13875  iexpcyc  14246  discr  14279  faclbnd2  14330  sqrt2gt1lt2  15313  flodddiv4  16452  slotsdifplendx2  17461  pcoass  25057  csbren  25433  minveclem2  25460  dveflem  26017  sincos4thpi  26555  log2cnv  26987  chtublem  27255  bposlem6  27333  gausslemma2dlem0d  27403  2sqlem11  27473  chebbnd1lem3  27515  chebbnd1  27516  pntibndlem1  27633  pntlemb  27641  pntlemg  27642  pntlemr  27646  pntlemf  27649  usgrexmplef  29276  upgr4cycl4dv4e  30204  minvecolem2  30894  minvecolem3  30895  normlem6  31134  sqsscirc1  33907  hgt750lem  34666  iccioo01  37328  lcmineqlem23  42052  3lexlogpow2ineq2  42060  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  4rp  42334  limclner  45666  stoweid  46078  stirlinglem10  46098  stirlinglem12  46100  bgoldbtbndlem3  47794  usgrexmpl1lem  47980  usgrexmpl2lem  47985  usgrexmpl2nb0  47990  usgrexmpl2trifr  47996  itsclc0yqsollem2  48684  itscnhlinecirc02plem1  48703