Theorem 4pos 12286

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12259	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11142	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12284	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11670	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11690	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12244	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5106	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177  3c3 12235  4c4 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244

This theorem is referenced by:  5pos  12288  div4p1lem1div2  12430  fldiv4p1lem1div2  13792  iexpcyc  14167  discr  14200  faclbnd2  14251  sqrt2gt1lt2  15234  flodddiv4  16382  slotsdifplendx2  17377  pcoass  25016  csbren  25391  minveclem2  25418  dveflem  25971  sincos4thpi  26502  log2cnv  26933  chtublem  27199  bposlem6  27277  gausslemma2dlem0d  27347  2sqlem11  27417  chebbnd1lem3  27459  chebbnd1  27460  pntibndlem1  27577  pntlemb  27585  pntlemg  27586  pntlemr  27590  pntlemf  27593  usgrexmplef  29353  upgr4cycl4dv4e  30280  minvecolem2  30971  minvecolem3  30972  normlem6  31211  sqsscirc1  34099  hgt750lem  34842  iccioo01  37696  lcmineqlem23  42543  3lexlogpow2ineq2  42551  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p1p5  42567  4rp  42784  limclner  46101  stoweid  46513  stirlinglem10  46533  stirlinglem12  46535  bgoldbtbndlem3  48305  usgrexmpl1lem  48519  usgrexmpl2lem  48524  usgrexmpl2nb0  48529  usgrexmpl2trifr  48535  gpgprismgr4cycllem6  48598  gpgprismgr4cycllem7  48599  gpgprismgr4cycllem10  48602  pgnbgreunbgrlem2lem3  48614  itsclc0yqsollem2  49261  itscnhlinecirc02plem1  49280