Theorem 4pos 12318

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11213	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12316	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11735	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11755	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12276	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5175	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  3c3 12267  4c4 12268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276

This theorem is referenced by:  4ne0  12319  5pos  12320  div4p1lem1div2  12466  fldiv4p1lem1div2  13799  iexpcyc  14170  discr  14202  faclbnd2  14250  sqrt2gt1lt2  15220  flodddiv4  16355  slotsdifplendx2  17361  pcoass  24539  csbren  24915  minveclem2  24942  dveflem  25495  sincos4thpi  26022  log2cnv  26446  chtublem  26711  bposlem6  26789  gausslemma2dlem0d  26859  2sqlem11  26929  chebbnd1lem3  26971  chebbnd1  26972  pntibndlem1  27089  pntlemb  27097  pntlemg  27098  pntlemr  27102  pntlemf  27105  usgrexmplef  28513  upgr4cycl4dv4e  29435  minvecolem2  30123  minvecolem3  30124  normlem6  30363  sqsscirc1  32883  hgt750lem  33658  iccioo01  36203  lcmineqlem23  40911  3lexlogpow2ineq2  40919  aks4d1p1p7  40934  aks4d1p1p5  40935  limclner  44357  stoweid  44769  stirlinglem10  44789  stirlinglem12  44791  bgoldbtbndlem3  46465  itsclc0yqsollem2  47439  itscnhlinecirc02plem1  47458