Theorem 4pos 11732

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11705	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 10630	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 11730	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11151	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11171	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 11690	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5057	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  3c3 11681  4c4 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690

This theorem is referenced by:  4ne0  11733  5pos  11734  div4p1lem1div2  11880  fldiv4p1lem1div2  13200  iexpcyc  13565  discr  13597  faclbnd2  13647  sqrt2gt1lt2  14626  flodddiv4  15754  pcoass  23629  csbren  24003  minveclem2  24030  dveflem  24582  sincos4thpi  25106  log2cnv  25530  chtublem  25795  bposlem6  25873  gausslemma2dlem0d  25943  2sqlem11  26013  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  pntibndlem1  26173  pntlemb  26181  pntlemg  26182  pntlemr  26186  pntlemf  26189  usgrexmplef  27049  upgr4cycl4dv4e  27970  minvecolem2  28658  minvecolem3  28659  normlem6  28898  sqsscirc1  31261  hgt750lem  32032  iccioo01  34741  lcmineqlem23  39339  limclner  42293  stoweid  42705  stirlinglem10  42725  stirlinglem12  42727  bgoldbtbndlem3  44325  itsclc0yqsollem2  45177  itscnhlinecirc02plem1  45196