MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4pos 12268
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos 0 < 4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 12241 . . 3 3 ∈ ℝ
2 1re 11163 . . 3 1 ∈ ℝ
3 3pos 12266 . . 3 0 < 3
4 0lt1 11685 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 11705 . 2 0 < (3 + 1)
6 df-4 12226 . 2 4 = (3 + 1)
75, 6breqtrri 5136 1 0 < 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  3c3 12217  4c4 12218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226
This theorem is referenced by:  4ne0  12269  5pos  12270  div4p1lem1div2  12416  fldiv4p1lem1div2  13749  iexpcyc  14120  discr  14152  faclbnd2  14200  sqrt2gt1lt2  15168  flodddiv4  16303  slotsdifplendx2  17306  pcoass  24410  csbren  24786  minveclem2  24813  dveflem  25366  sincos4thpi  25893  log2cnv  26317  chtublem  26582  bposlem6  26660  gausslemma2dlem0d  26730  2sqlem11  26800  chebbnd1lem3  26842  chebbnd1  26843  pntibndlem1  26960  pntlemb  26968  pntlemg  26969  pntlemr  26973  pntlemf  26976  usgrexmplef  28256  upgr4cycl4dv4e  29178  minvecolem2  29866  minvecolem3  29867  normlem6  30106  sqsscirc1  32553  hgt750lem  33328  iccioo01  35848  lcmineqlem23  40558  3lexlogpow2ineq2  40566  aks4d1p1p7  40581  aks4d1p1p5  40582  limclner  43982  stoweid  44394  stirlinglem10  44414  stirlinglem12  44416  bgoldbtbndlem3  46089  itsclc0yqsollem2  46939  itscnhlinecirc02plem1  46958
  Copyright terms: Public domain W3C validator