Theorem 4pos 12344

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12317	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11239	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12342	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11761	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11781	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12302	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5170	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273  3c3 12293  4c4 12294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302

This theorem is referenced by:  4ne0  12345  5pos  12346  div4p1lem1div2  12492  fldiv4p1lem1div2  13827  iexpcyc  14197  discr  14229  faclbnd2  14277  sqrt2gt1lt2  15248  flodddiv4  16384  slotsdifplendx2  17392  pcoass  24945  csbren  25321  minveclem2  25348  dveflem  25905  sincos4thpi  26442  log2cnv  26870  chtublem  27138  bposlem6  27216  gausslemma2dlem0d  27286  2sqlem11  27356  chebbnd1lem3  27398  chebbnd1  27399  pntibndlem1  27516  pntlemb  27524  pntlemg  27525  pntlemr  27529  pntlemf  27532  usgrexmplef  29066  upgr4cycl4dv4e  29989  minvecolem2  30679  minvecolem3  30680  normlem6  30919  sqsscirc1  33504  hgt750lem  34278  iccioo01  36801  lcmineqlem23  41517  3lexlogpow2ineq2  41525  aks4d1p1p7  41540  aks4d1p1p5  41541  limclner  45030  stoweid  45442  stirlinglem10  45462  stirlinglem12  45464  bgoldbtbndlem3  47138  itsclc0yqsollem2  47827  itscnhlinecirc02plem1  47846