Theorem 4pos 12253

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12226	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11134	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12251	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11660	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11680	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12211	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5122	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168  3c3 12202  4c4 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211

This theorem is referenced by:  5pos  12255  div4p1lem1div2  12397  fldiv4p1lem1div2  13757  iexpcyc  14132  discr  14165  faclbnd2  14216  sqrt2gt1lt2  15199  flodddiv4  16344  slotsdifplendx2  17338  pcoass  24940  csbren  25315  minveclem2  25342  dveflem  25899  sincos4thpi  26438  log2cnv  26870  chtublem  27138  bposlem6  27216  gausslemma2dlem0d  27286  2sqlem11  27356  chebbnd1lem3  27398  chebbnd1  27399  pntibndlem1  27516  pntlemb  27524  pntlemg  27525  pntlemr  27529  pntlemf  27532  usgrexmplef  29222  upgr4cycl4dv4e  30147  minvecolem2  30837  minvecolem3  30838  normlem6  31077  sqsscirc1  33877  hgt750lem  34621  iccioo01  37303  lcmineqlem23  42027  3lexlogpow2ineq2  42035  aks4d1p1p7  42050  aks4d1p1p5  42051  4rp  42276  limclner  45636  stoweid  46048  stirlinglem10  46068  stirlinglem12  46070  bgoldbtbndlem3  47795  usgrexmpl1lem  48009  usgrexmpl2lem  48014  usgrexmpl2nb0  48019  usgrexmpl2trifr  48025  gpgprismgr4cycllem6  48088  gpgprismgr4cycllem7  48089  gpgprismgr4cycllem10  48092  pgnbgreunbgrlem2lem3  48104  itsclc0yqsollem2  48752  itscnhlinecirc02plem1  48771