Theorem 4pos 12241

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12214	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11121	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12239	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11648	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11668	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12199	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5122	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   < clt 11155  3c3 12190  4c4 12191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199

This theorem is referenced by:  5pos  12243  div4p1lem1div2  12385  fldiv4p1lem1div2  13743  iexpcyc  14118  discr  14151  faclbnd2  14202  sqrt2gt1lt2  15185  flodddiv4  16330  slotsdifplendx2  17324  pcoass  24954  csbren  25329  minveclem2  25356  dveflem  25913  sincos4thpi  26452  log2cnv  26884  chtublem  27152  bposlem6  27230  gausslemma2dlem0d  27300  2sqlem11  27370  chebbnd1lem3  27412  chebbnd1  27413  pntibndlem1  27530  pntlemb  27538  pntlemg  27539  pntlemr  27543  pntlemf  27546  usgrexmplef  29241  upgr4cycl4dv4e  30169  minvecolem2  30859  minvecolem3  30860  normlem6  31099  sqsscirc1  33944  hgt750lem  34687  iccioo01  37394  lcmineqlem23  42167  3lexlogpow2ineq2  42175  aks4d1p1p7  42190  aks4d1p1p5  42191  4rp  42421  limclner  45776  stoweid  46188  stirlinglem10  46208  stirlinglem12  46210  bgoldbtbndlem3  47934  usgrexmpl1lem  48148  usgrexmpl2lem  48153  usgrexmpl2nb0  48158  usgrexmpl2trifr  48164  gpgprismgr4cycllem6  48227  gpgprismgr4cycllem7  48228  gpgprismgr4cycllem10  48231  pgnbgreunbgrlem2lem3  48243  itsclc0yqsollem2  48891  itscnhlinecirc02plem1  48910