Theorem 4pos 12279

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12252	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11135	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12277	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11663	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11683	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12237	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5113	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170  3c3 12228  4c4 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237

This theorem is referenced by:  5pos  12281  div4p1lem1div2  12423  fldiv4p1lem1div2  13785  iexpcyc  14160  discr  14193  faclbnd2  14244  sqrt2gt1lt2  15227  flodddiv4  16375  slotsdifplendx2  17370  pcoass  25001  csbren  25376  minveclem2  25403  dveflem  25956  sincos4thpi  26490  log2cnv  26921  chtublem  27188  bposlem6  27266  gausslemma2dlem0d  27336  2sqlem11  27406  chebbnd1lem3  27448  chebbnd1  27449  pntibndlem1  27566  pntlemb  27574  pntlemg  27575  pntlemr  27579  pntlemf  27582  usgrexmplef  29342  upgr4cycl4dv4e  30270  minvecolem2  30961  minvecolem3  30962  normlem6  31201  sqsscirc1  34068  hgt750lem  34811  iccioo01  37657  lcmineqlem23  42504  3lexlogpow2ineq2  42512  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p1p5  42528  4rp  42746  limclner  46097  stoweid  46509  stirlinglem10  46529  stirlinglem12  46531  bgoldbtbndlem3  48295  usgrexmpl1lem  48509  usgrexmpl2lem  48514  usgrexmpl2nb0  48519  usgrexmpl2trifr  48525  gpgprismgr4cycllem6  48588  gpgprismgr4cycllem7  48589  gpgprismgr4cycllem10  48592  pgnbgreunbgrlem2lem3  48604  itsclc0yqsollem2  49251  itscnhlinecirc02plem1  49270