MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4pos 11723
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos 0 < 4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 11696 . . 3 3 ∈ ℝ
2 1re 10619 . . 3 1 ∈ ℝ
3 3pos 11721 . . 3 0 < 3
4 0lt1 11140 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 11160 . 2 0 < (3 + 1)
6 df-4 11681 . 2 4 = (3 + 1)
75, 6breqtrri 5069 1 0 < 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 5042  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   < clt 10653  3c3 11672  4c4 11673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681
This theorem is referenced by:  4ne0  11724  5pos  11725  div4p1lem1div2  11871  fldiv4p1lem1div2  13189  iexpcyc  13554  discr  13586  faclbnd2  13636  sqrt2gt1lt2  14614  flodddiv4  15742  pcoass  23608  csbren  23982  minveclem2  24009  dveflem  24561  sincos4thpi  25085  log2cnv  25509  chtublem  25774  bposlem6  25852  gausslemma2dlem0d  25922  2sqlem11  25992  chebbnd1lem3  26034  chebbnd1  26035  pntibndlem1  26152  pntlemb  26160  pntlemg  26161  pntlemr  26165  pntlemf  26168  usgrexmplef  27028  upgr4cycl4dv4e  27949  minvecolem2  28637  minvecolem3  28638  normlem6  28877  sqsscirc1  31159  hgt750lem  31930  lcmineqlem23  39203  limclner  42084  stoweid  42496  stirlinglem10  42516  stirlinglem12  42518  bgoldbtbndlem3  44117  itsclc0yqsollem2  44937  itscnhlinecirc02plem1  44956
  Copyright terms: Public domain W3C validator