MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4pos 11426
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos 0 < 4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 11392 . . 3 3 ∈ ℝ
2 1re 10329 . . 3 1 ∈ ℝ
3 3pos 11424 . . 3 0 < 3
4 0lt1 10843 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 10863 . 2 0 < (3 + 1)
6 df-4 11377 . 2 4 = (3 + 1)
75, 6breqtrri 4871 1 0 < 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   < clt 10364  3c3 11368  4c4 11369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377
This theorem is referenced by:  4ne0  11427  5pos  11428  div4p1lem1div2  11574  fldiv4p1lem1div2  12890  iexpcyc  13222  discr  13254  faclbnd2  13330  sqrt2gt1lt2  14355  flodddiv4  15471  pcoass  23150  csbren  23520  minveclem2  23535  dveflem  24082  sincos4thpi  24606  log2cnv  25022  chtublem  25287  bposlem6  25365  gausslemma2dlem0d  25435  2sqlem11  25505  chebbnd1lem3  25511  chebbnd1  25512  pntibndlem1  25629  pntlemb  25637  pntlemg  25638  pntlemr  25642  pntlemf  25645  usgrexmplef  26492  upgr4cycl4dv4e  27528  minvecolem2  28255  minvecolem3  28256  normlem6  28496  sqsscirc1  30469  hgt750lem  31248  limclner  40622  stoweid  41018  stirlinglem10  41038  stirlinglem12  41040  bgoldbtbndlem3  42472
  Copyright terms: Public domain W3C validator