Theorem 4pos 12080

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12053	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 10975	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12078	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11497	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11517	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12038	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5101	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  3c3 12029  4c4 12030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038

This theorem is referenced by:  4ne0  12081  5pos  12082  div4p1lem1div2  12228  fldiv4p1lem1div2  13555  iexpcyc  13923  discr  13955  faclbnd2  14005  sqrt2gt1lt2  14986  flodddiv4  16122  slotsdifplendx2  17127  pcoass  24187  csbren  24563  minveclem2  24590  dveflem  25143  sincos4thpi  25670  log2cnv  26094  chtublem  26359  bposlem6  26437  gausslemma2dlem0d  26507  2sqlem11  26577  chebbnd1lem3  26619  chebbnd1  26620  pntibndlem1  26737  pntlemb  26745  pntlemg  26746  pntlemr  26750  pntlemf  26753  usgrexmplef  27626  upgr4cycl4dv4e  28549  minvecolem2  29237  minvecolem3  29238  normlem6  29477  sqsscirc1  31858  hgt750lem  32631  iccioo01  35498  lcmineqlem23  40059  3lexlogpow2ineq2  40067  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1p5  40083  limclner  43192  stoweid  43604  stirlinglem10  43624  stirlinglem12  43626  bgoldbtbndlem3  45259  itsclc0yqsollem2  46109  itscnhlinecirc02plem1  46128