Theorem 4pos 12371

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12344	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11259	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12369	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11783	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11803	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12329	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5175	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  3c3 12320  4c4 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329

This theorem is referenced by:  4ne0  12372  5pos  12373  div4p1lem1div2  12519  fldiv4p1lem1div2  13872  iexpcyc  14243  discr  14276  faclbnd2  14327  sqrt2gt1lt2  15310  flodddiv4  16449  slotsdifplendx2  17463  pcoass  25071  csbren  25447  minveclem2  25474  dveflem  26032  sincos4thpi  26570  log2cnv  27002  chtublem  27270  bposlem6  27348  gausslemma2dlem0d  27418  2sqlem11  27488  chebbnd1lem3  27530  chebbnd1  27531  pntibndlem1  27648  pntlemb  27656  pntlemg  27657  pntlemr  27661  pntlemf  27664  usgrexmplef  29291  upgr4cycl4dv4e  30214  minvecolem2  30904  minvecolem3  30905  normlem6  31144  sqsscirc1  33869  hgt750lem  34645  iccioo01  37310  lcmineqlem23  42033  3lexlogpow2ineq2  42041  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  4rp  42313  limclner  45607  stoweid  46019  stirlinglem10  46039  stirlinglem12  46041  bgoldbtbndlem3  47732  usgrexmpl1lem  47916  usgrexmpl2lem  47921  usgrexmpl2nb0  47926  usgrexmpl2trifr  47932  itsclc0yqsollem2  48613  itscnhlinecirc02plem1  48632