Theorem 4pos 12288

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12261	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12286	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11672	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11692	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12246	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5112	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179  3c3 12237  4c4 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246

This theorem is referenced by:  5pos  12290  div4p1lem1div2  12432  fldiv4p1lem1div2  13794  iexpcyc  14169  discr  14202  faclbnd2  14253  sqrt2gt1lt2  15236  flodddiv4  16384  slotsdifplendx2  17379  pcoass  24991  csbren  25366  minveclem2  25393  dveflem  25946  sincos4thpi  26477  log2cnv  26908  chtublem  27174  bposlem6  27252  gausslemma2dlem0d  27322  2sqlem11  27392  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  pntibndlem1  27552  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemf  27568  usgrexmplef  29328  upgr4cycl4dv4e  30255  minvecolem2  30946  minvecolem3  30947  normlem6  31186  sqsscirc1  34052  hgt750lem  34795  iccioo01  37643  lcmineqlem23  42490  3lexlogpow2ineq2  42498  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  4rp  42732  limclner  46079  stoweid  46491  stirlinglem10  46511  stirlinglem12  46513  bgoldbtbndlem3  48283  usgrexmpl1lem  48497  usgrexmpl2lem  48502  usgrexmpl2nb0  48507  usgrexmpl2trifr  48513  gpgprismgr4cycllem6  48576  gpgprismgr4cycllem7  48577  gpgprismgr4cycllem10  48580  pgnbgreunbgrlem2lem3  48592  itsclc0yqsollem2  49239  itscnhlinecirc02plem1  49258