Theorem 4pos 12264

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12237	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12262	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11671	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11691	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12222	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5127	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  3c3 12213  4c4 12214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222

This theorem is referenced by:  5pos  12266  div4p1lem1div2  12408  fldiv4p1lem1div2  13767  iexpcyc  14142  discr  14175  faclbnd2  14226  sqrt2gt1lt2  15209  flodddiv4  16354  slotsdifplendx2  17348  pcoass  24992  csbren  25367  minveclem2  25394  dveflem  25951  sincos4thpi  26490  log2cnv  26922  chtublem  27190  bposlem6  27268  gausslemma2dlem0d  27338  2sqlem11  27408  chebbnd1lem3  27450  chebbnd1  27451  pntibndlem1  27568  pntlemb  27576  pntlemg  27577  pntlemr  27581  pntlemf  27584  usgrexmplef  29344  upgr4cycl4dv4e  30272  minvecolem2  30962  minvecolem3  30963  normlem6  31202  sqsscirc1  34085  hgt750lem  34828  iccioo01  37579  lcmineqlem23  42418  3lexlogpow2ineq2  42426  aks4d1p1p7  42441  aks4d1p1p5  42442  4rp  42667  limclner  46006  stoweid  46418  stirlinglem10  46438  stirlinglem12  46440  bgoldbtbndlem3  48164  usgrexmpl1lem  48378  usgrexmpl2lem  48383  usgrexmpl2nb0  48388  usgrexmpl2trifr  48394  gpgprismgr4cycllem6  48457  gpgprismgr4cycllem7  48458  gpgprismgr4cycllem10  48461  pgnbgreunbgrlem2lem3  48473  itsclc0yqsollem2  49120  itscnhlinecirc02plem1  49139