Theorem 4pos 12252

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12225	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11132	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12250	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11659	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11679	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12210	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5125	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166  3c3 12201  4c4 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210

This theorem is referenced by:  5pos  12254  div4p1lem1div2  12396  fldiv4p1lem1div2  13755  iexpcyc  14130  discr  14163  faclbnd2  14214  sqrt2gt1lt2  15197  flodddiv4  16342  slotsdifplendx2  17336  pcoass  24980  csbren  25355  minveclem2  25382  dveflem  25939  sincos4thpi  26478  log2cnv  26910  chtublem  27178  bposlem6  27256  gausslemma2dlem0d  27326  2sqlem11  27396  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  pntibndlem1  27556  pntlemb  27564  pntlemg  27565  pntlemr  27569  pntlemf  27572  usgrexmplef  29332  upgr4cycl4dv4e  30260  minvecolem2  30950  minvecolem3  30951  normlem6  31190  sqsscirc1  34065  hgt750lem  34808  iccioo01  37532  lcmineqlem23  42305  3lexlogpow2ineq2  42313  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  4rp  42555  limclner  45895  stoweid  46307  stirlinglem10  46327  stirlinglem12  46329  bgoldbtbndlem3  48053  usgrexmpl1lem  48267  usgrexmpl2lem  48272  usgrexmpl2nb0  48277  usgrexmpl2trifr  48283  gpgprismgr4cycllem6  48346  gpgprismgr4cycllem7  48347  gpgprismgr4cycllem10  48350  pgnbgreunbgrlem2lem3  48362  itsclc0yqsollem2  49009  itscnhlinecirc02plem1  49028