Theorem 4pos 12232

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12205	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11112	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12230	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11639	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11659	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12190	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5118	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146  3c3 12181  4c4 12182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190

This theorem is referenced by:  5pos  12234  div4p1lem1div2  12376  fldiv4p1lem1div2  13739  iexpcyc  14114  discr  14147  faclbnd2  14198  sqrt2gt1lt2  15181  flodddiv4  16326  slotsdifplendx2  17320  pcoass  24952  csbren  25327  minveclem2  25354  dveflem  25911  sincos4thpi  26450  log2cnv  26882  chtublem  27150  bposlem6  27228  gausslemma2dlem0d  27298  2sqlem11  27368  chebbnd1lem3  27410  chebbnd1  27411  pntibndlem1  27528  pntlemb  27536  pntlemg  27537  pntlemr  27541  pntlemf  27544  usgrexmplef  29238  upgr4cycl4dv4e  30163  minvecolem2  30853  minvecolem3  30854  normlem6  31093  sqsscirc1  33919  hgt750lem  34662  iccioo01  37367  lcmineqlem23  42090  3lexlogpow2ineq2  42098  aks4d1p1p7  42113  aks4d1p1p5  42114  4rp  42339  limclner  45695  stoweid  46107  stirlinglem10  46127  stirlinglem12  46129  bgoldbtbndlem3  47844  usgrexmpl1lem  48058  usgrexmpl2lem  48063  usgrexmpl2nb0  48068  usgrexmpl2trifr  48074  gpgprismgr4cycllem6  48137  gpgprismgr4cycllem7  48138  gpgprismgr4cycllem10  48141  pgnbgreunbgrlem2lem3  48153  itsclc0yqsollem2  48801  itscnhlinecirc02plem1  48820