Theorem 4pos 12400

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12373	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 11290	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 12398	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11812	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11832	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 12358	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5193	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  3c3 12349  4c4 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358

This theorem is referenced by:  4ne0  12401  5pos  12402  div4p1lem1div2  12548  fldiv4p1lem1div2  13886  iexpcyc  14256  discr  14289  faclbnd2  14340  sqrt2gt1lt2  15323  flodddiv4  16461  slotsdifplendx2  17476  pcoass  25076  csbren  25452  minveclem2  25479  dveflem  26037  sincos4thpi  26573  log2cnv  27005  chtublem  27273  bposlem6  27351  gausslemma2dlem0d  27421  2sqlem11  27491  chebbnd1lem3  27533  chebbnd1  27534  pntibndlem1  27651  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemr  27664  pntlemf  27667  usgrexmplef  29294  upgr4cycl4dv4e  30217  minvecolem2  30907  minvecolem3  30908  normlem6  31147  sqsscirc1  33854  hgt750lem  34628  iccioo01  37293  lcmineqlem23  42008  3lexlogpow2ineq2  42016  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  4rp  42287  limclner  45572  stoweid  45984  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  bgoldbtbndlem3  47681  usgrexmpl1lem  47836  usgrexmpl2lem  47841  usgrexmpl2nb0  47846  usgrexmpl2trifr  47852  itsclc0yqsollem2  48497  itscnhlinecirc02plem1  48516