Theorem 3pos 12360

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11252	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12358	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11774	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11794	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12319	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5170	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5143  (class class class)co 7413  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  2c2 12310  3c3 12311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-2 12318  df-3 12319

This theorem is referenced by:  3ne0  12361  4pos  12362  3rp  13025  fz0to4untppr  13649  s4fv0  14896  01sqrexlem7  15245  sqrt9  15270  ef01bndlem  16178  cos2bnd  16182  sin01gt0  16184  cos01gt0  16185  rpnnen2lem3  16210  rpnnen2lem4  16211  rpnnen2lem9  16216  flodddiv4  16407  43prm  17116  slotsdifunifndx  17407  cnfldfunALTOLDOLD  21365  tangtx  26527  sincos6thpi  26537  pige3ALT  26541  log2cnv  26966  log2tlbnd  26967  ppiub  27227  bposlem2  27308  bposlem3  27309  bposlem4  27310  bposlem5  27311  lgsdir2lem1  27348  dchrvmasumiflem1  27524  tgcgr4  28452  frgrogt3nreg  30324  friendshipgt3  30325  ex-gcd  30384  cyc3fv3  33018  cyc3conja  33036  evl1deg3  33453  2sqr3minply  33617  hgt750lemd  34504  hgt750lem2  34508  heiborlem5  37526  heiborlem7  37528  3lexlogpow5ineq2  41764  3lexlogpow5ineq4  41765  3lexlogpow5ineq3  41766  3lexlogpow2ineq1  41767  3lexlogpow2ineq2  41768  3lexlogpow5ineq5  41769  aks4d1lem1  41771  aks4d1p1p6  41782  aks4d1p1p5  41784  aks4d1p1  41785  aks4d1p2  41786  aks4d1p3  41787  aks4d1p5  41789  aks4d1p6  41790  aks4d1p7d1  41791  aks4d1p7  41792  aks4d1p8  41796  aks4d1p9  41797  aks6d1c7lem1  41889  aks6d1c7lem2  41890  aks6d1c7  41893  aks5lem6  41901  acos1half  42363  jm2.23  42688  stoweidlem13  45667  stoweidlem26  45680  stoweidlem34  45688  stoweidlem42  45696  stoweidlem59  45713  stoweid  45717  wallispilem4  45722  smfmullem4  46448  257prm  47166  127prm  47204  nfermltl2rev  47348  sepfsepc  48294