Theorem 3pos 12345

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12343	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11759	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11779	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12304	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5146	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269  2c2 12295  3c3 12296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12303  df-3 12304

This theorem is referenced by:  4pos  12347  3rp  13014  fz0to4untppr  13647  fz0to5un2tp  13648  s4fv0  14914  01sqrexlem7  15267  sqrt9  15292  ef01bndlem  16202  cos2bnd  16206  sin01gt0  16208  cos01gt0  16209  rpnnen2lem3  16234  rpnnen2lem4  16235  rpnnen2lem9  16240  flodddiv4  16434  43prm  17141  slotsdifunifndx  17415  tangtx  26466  sincos6thpi  26477  pige3ALT  26481  log2cnv  26906  log2tlbnd  26907  ppiub  27167  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  lgsdir2lem1  27288  dchrvmasumiflem1  27464  tgcgr4  28510  frgrogt3nreg  30378  friendshipgt3  30379  ex-gcd  30438  cyc3fv3  33150  cyc3conja  33168  evl1deg3  33591  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem1  33816  hgt750lemd  34680  hgt750lem2  34684  heiborlem5  37839  heiborlem7  37841  3lexlogpow5ineq2  42068  3lexlogpow5ineq4  42069  3lexlogpow5ineq3  42070  3lexlogpow2ineq1  42071  3lexlogpow2ineq2  42072  3lexlogpow5ineq5  42073  aks4d1lem1  42075  aks4d1p1p6  42086  aks4d1p1p5  42088  aks4d1p1  42089  aks4d1p2  42090  aks4d1p3  42091  aks4d1p5  42093  aks4d1p6  42094  aks4d1p7d1  42095  aks4d1p7  42096  aks4d1p8  42100  aks4d1p9  42101  aks6d1c7lem1  42193  aks6d1c7lem2  42194  aks6d1c7  42197  aks5lem6  42205  aks5lem8  42214  acos1half  42401  jm2.23  43020  stoweidlem13  46042  stoweidlem26  46055  stoweidlem34  46063  stoweidlem42  46071  stoweidlem59  46088  stoweid  46092  wallispilem4  46097  smfmullem4  46823  257prm  47575  127prm  47613  nfermltl2rev  47757  usgrexmpl1lem  48025  usgrexmpl2lem  48030  usgrexmpl2nb0  48035  gpgusgralem  48060  gpg3kgrtriexlem3  48087  gpg3kgrtriexlem6  48090  sepfsepc  48902