Theorem 3pos 12368

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11258	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12366	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11782	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11802	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12327	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5174	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  2c2 12318  3c3 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-2 12326  df-3 12327

This theorem is referenced by:  3ne0  12369  4pos  12370  3rp  13037  fz0to4untppr  13666  fz0to5un2tp  13667  s4fv0  14930  01sqrexlem7  15283  sqrt9  15308  ef01bndlem  16216  cos2bnd  16220  sin01gt0  16222  cos01gt0  16223  rpnnen2lem3  16248  rpnnen2lem4  16249  rpnnen2lem9  16254  flodddiv4  16448  43prm  17155  slotsdifunifndx  17446  cnfldfunALTOLDOLD  21410  tangtx  26561  sincos6thpi  26572  pige3ALT  26576  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  ppiub  27262  bposlem2  27343  bposlem3  27344  bposlem4  27345  bposlem5  27346  lgsdir2lem1  27383  dchrvmasumiflem1  27559  tgcgr4  28553  frgrogt3nreg  30425  friendshipgt3  30426  ex-gcd  30485  cyc3fv3  33141  cyc3conja  33159  evl1deg3  33582  2sqr3minply  33752  hgt750lemd  34641  hgt750lem2  34645  heiborlem5  37801  heiborlem7  37803  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq4  42037  3lexlogpow5ineq3  42038  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1lem1  42043  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p1  42057  aks4d1p2  42058  aks4d1p3  42059  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  aks6d1c7  42165  aks5lem6  42173  aks5lem8  42182  acos1half  42366  jm2.23  42984  stoweidlem13  45968  stoweidlem26  45981  stoweidlem34  45989  stoweidlem42  45997  stoweidlem59  46014  stoweid  46018  wallispilem4  46023  smfmullem4  46749  257prm  47485  127prm  47523  nfermltl2rev  47667  usgrexmpl1lem  47915  usgrexmpl2lem  47920  usgrexmpl2nb0  47925  gpgusgralem  47945  sepfsepc  48723