Theorem 3pos 12251

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12220	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11134	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12249	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11660	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11680	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12210	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5122	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168  2c2 12201  3c3 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-2 12209  df-3 12210

This theorem is referenced by:  4pos  12253  3rp  12917  fz0to4untppr  13551  fz0to5un2tp  13552  s4fv0  14820  01sqrexlem7  15173  sqrt9  15198  ef01bndlem  16111  cos2bnd  16115  sin01gt0  16117  cos01gt0  16118  rpnnen2lem3  16143  rpnnen2lem4  16144  rpnnen2lem9  16149  flodddiv4  16344  43prm  17051  slotsdifunifndx  17323  tangtx  26430  sincos6thpi  26441  pige3ALT  26445  log2cnv  26870  log2tlbnd  26871  ppiub  27131  bposlem2  27212  bposlem3  27213  bposlem4  27214  bposlem5  27215  lgsdir2lem1  27252  dchrvmasumiflem1  27428  tgcgr4  28494  frgrogt3nreg  30359  friendshipgt3  30360  ex-gcd  30419  cyc3fv3  33094  cyc3conja  33112  evl1deg3  33526  2sqr3minply  33749  cos9thpiminplylem1  33751  hgt750lemd  34618  hgt750lem2  34622  heiborlem5  37797  heiborlem7  37799  3lexlogpow5ineq2  42031  3lexlogpow5ineq4  42032  3lexlogpow5ineq3  42033  3lexlogpow2ineq1  42034  3lexlogpow2ineq2  42035  3lexlogpow5ineq5  42036  aks4d1lem1  42038  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p5  42051  aks4d1p1  42052  aks4d1p2  42053  aks4d1p3  42054  aks4d1p5  42056  aks4d1p6  42057  aks4d1p7d1  42058  aks4d1p7  42059  aks4d1p8  42063  aks4d1p9  42064  aks6d1c7lem1  42156  aks6d1c7lem2  42157  aks6d1c7  42160  aks5lem6  42168  aks5lem8  42177  acos1half  42334  jm2.23  42972  stoweidlem13  45998  stoweidlem26  46011  stoweidlem34  46019  stoweidlem42  46027  stoweidlem59  46044  stoweid  46048  wallispilem4  46053  smfmullem4  46779  257prm  47549  127prm  47587  nfermltl2rev  47731  usgrexmpl1lem  48009  usgrexmpl2lem  48014  usgrexmpl2nb0  48019  gpgusgralem  48044  gpg3kgrtriexlem3  48073  gpg3kgrtriexlem6  48076  pgnbgreunbgrlem2lem1  48102  pgnbgreunbgrlem2lem2  48103  gpg5edgnedg  48118  sepfsepc  48916