Theorem 3pos 12298

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12296	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11707	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11727	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12257	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5137	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215  2c2 12248  3c3 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-2 12256  df-3 12257

This theorem is referenced by:  4pos  12300  3rp  12964  fz0to4untppr  13598  fz0to5un2tp  13599  s4fv0  14868  01sqrexlem7  15221  sqrt9  15246  ef01bndlem  16159  cos2bnd  16163  sin01gt0  16165  cos01gt0  16166  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem4  16192  rpnnen2lem9  16197  flodddiv4  16392  43prm  17099  slotsdifunifndx  17371  tangtx  26421  sincos6thpi  26432  pige3ALT  26436  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  ppiub  27122  bposlem2  27203  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  lgsdir2lem1  27243  dchrvmasumiflem1  27419  tgcgr4  28465  frgrogt3nreg  30333  friendshipgt3  30334  ex-gcd  30393  cyc3fv3  33103  cyc3conja  33121  evl1deg3  33554  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem1  33779  hgt750lemd  34646  hgt750lem2  34650  heiborlem5  37816  heiborlem7  37818  3lexlogpow5ineq2  42050  3lexlogpow5ineq4  42051  3lexlogpow5ineq3  42052  3lexlogpow2ineq1  42053  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1lem1  42057  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p1  42071  aks4d1p2  42072  aks4d1p3  42073  aks4d1p5  42075  aks4d1p6  42076  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  aks6d1c7  42179  aks5lem6  42187  aks5lem8  42196  acos1half  42353  jm2.23  42992  stoweidlem13  46018  stoweidlem26  46031  stoweidlem34  46039  stoweidlem42  46047  stoweidlem59  46064  stoweid  46068  wallispilem4  46073  smfmullem4  46799  257prm  47566  127prm  47604  nfermltl2rev  47748  usgrexmpl1lem  48016  usgrexmpl2lem  48021  usgrexmpl2nb0  48026  gpgusgralem  48051  gpg3kgrtriexlem3  48080  gpg3kgrtriexlem6  48083  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem2  48109  sepfsepc  48920