Theorem 3pos 12277

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11135	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12275	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11663	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11683	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12236	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5113	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170  2c2 12227  3c3 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-2 12235  df-3 12236

This theorem is referenced by:  4pos  12279  3rp  12939  fz0to4untppr  13575  fz0to5un2tp  13576  s4fv0  14848  01sqrexlem7  15201  sqrt9  15226  ef01bndlem  16142  cos2bnd  16146  sin01gt0  16148  cos01gt0  16149  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem4  16175  rpnnen2lem9  16180  flodddiv4  16375  43prm  17083  slotsdifunifndx  17355  tangtx  26482  sincos6thpi  26493  pige3ALT  26497  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  ppiub  27181  bposlem2  27262  bposlem3  27263  bposlem4  27264  bposlem5  27265  lgsdir2lem1  27302  dchrvmasumiflem1  27478  tgcgr4  28613  frgrogt3nreg  30482  friendshipgt3  30483  ex-gcd  30542  cyc3fv3  33215  cyc3conja  33233  evl1deg3  33653  2sqr3minply  33940  cos9thpiminplylem1  33942  hgt750lemd  34808  hgt750lem2  34812  heiborlem5  38150  heiborlem7  38152  3lexlogpow5ineq2  42508  3lexlogpow5ineq4  42509  3lexlogpow5ineq3  42510  3lexlogpow2ineq1  42511  3lexlogpow2ineq2  42512  3lexlogpow5ineq5  42513  aks4d1lem1  42515  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p5  42528  aks4d1p1  42529  aks4d1p2  42530  aks4d1p3  42531  aks4d1p5  42533  aks4d1p6  42534  aks4d1p7d1  42535  aks4d1p7  42536  aks4d1p8  42540  aks4d1p9  42541  aks6d1c7lem1  42633  aks6d1c7lem2  42634  aks6d1c7  42637  aks5lem6  42645  aks5lem8  42654  acos1half  42804  jm2.23  43442  stoweidlem13  46459  stoweidlem26  46472  stoweidlem34  46480  stoweidlem42  46488  stoweidlem59  46505  stoweid  46509  wallispilem4  46514  smfmullem4  47240  257prm  48036  127prm  48074  nfermltl2rev  48231  usgrexmpl1lem  48509  usgrexmpl2lem  48514  usgrexmpl2nb0  48519  gpgusgralem  48544  gpg3kgrtriexlem3  48573  gpg3kgrtriexlem6  48576  pgnbgreunbgrlem2lem1  48602  pgnbgreunbgrlem2lem2  48603  gpg5edgnedg  48618  sepfsepc  49415