Theorem 3pos 12398

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11290	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12396	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11812	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11832	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12357	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5193	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  2c2 12348  3c3 12349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-2 12356  df-3 12357

This theorem is referenced by:  3ne0  12399  4pos  12400  3rp  13063  fz0to4untppr  13687  fz0to5un2tp  13688  s4fv0  14944  01sqrexlem7  15297  sqrt9  15322  ef01bndlem  16232  cos2bnd  16236  sin01gt0  16238  cos01gt0  16239  rpnnen2lem3  16264  rpnnen2lem4  16265  rpnnen2lem9  16270  flodddiv4  16461  43prm  17169  slotsdifunifndx  17460  cnfldfunALTOLDOLD  21416  tangtx  26565  sincos6thpi  26576  pige3ALT  26580  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  ppiub  27266  bposlem2  27347  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  lgsdir2lem1  27387  dchrvmasumiflem1  27563  tgcgr4  28557  frgrogt3nreg  30429  friendshipgt3  30430  ex-gcd  30489  cyc3fv3  33132  cyc3conja  33150  evl1deg3  33568  2sqr3minply  33738  hgt750lemd  34625  hgt750lem2  34629  heiborlem5  37775  heiborlem7  37777  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq4  42013  3lexlogpow5ineq3  42014  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1lem1  42019  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p2  42034  aks4d1p3  42035  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  aks6d1c7  42141  aks5lem6  42149  aks5lem8  42158  acos1half  42340  jm2.23  42953  stoweidlem13  45934  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  stoweidlem42  45963  stoweidlem59  45980  stoweid  45984  wallispilem4  45989  smfmullem4  46715  257prm  47435  127prm  47473  nfermltl2rev  47617  usgrexmpl1lem  47836  usgrexmpl2lem  47841  usgrexmpl2nb0  47846  sepfsepc  48607