Theorem 3pos 12284

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12253	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11142	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12282	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11670	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11690	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12243	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5106	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177  2c2 12234  3c3 12235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-2 12242  df-3 12243

This theorem is referenced by:  4pos  12286  3rp  12946  fz0to4untppr  13582  fz0to5un2tp  13583  s4fv0  14855  01sqrexlem7  15208  sqrt9  15233  ef01bndlem  16149  cos2bnd  16153  sin01gt0  16155  cos01gt0  16156  rpnnen2lem3  16181  rpnnen2lem4  16182  rpnnen2lem9  16187  flodddiv4  16382  43prm  17090  slotsdifunifndx  17362  tangtx  26494  sincos6thpi  26505  pige3ALT  26509  log2cnv  26933  log2tlbnd  26934  ppiub  27192  bposlem2  27273  bposlem3  27274  bposlem4  27275  bposlem5  27276  lgsdir2lem1  27313  dchrvmasumiflem1  27489  tgcgr4  28624  frgrogt3nreg  30492  friendshipgt3  30493  ex-gcd  30552  cyc3fv3  33227  cyc3conja  33245  evl1deg3  33668  2sqr3minply  33971  cos9thpiminplylem1  33973  hgt750lemd  34839  hgt750lem2  34843  heiborlem5  38189  heiborlem7  38191  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow5ineq4  42548  3lexlogpow5ineq3  42549  3lexlogpow2ineq1  42550  3lexlogpow2ineq2  42551  3lexlogpow5ineq5  42552  aks4d1lem1  42554  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p5  42567  aks4d1p1  42568  aks4d1p2  42569  aks4d1p3  42570  aks4d1p5  42572  aks4d1p6  42573  aks4d1p7d1  42574  aks4d1p7  42575  aks4d1p8  42579  aks4d1p9  42580  aks6d1c7lem1  42672  aks6d1c7lem2  42673  aks6d1c7  42676  aks5lem6  42684  aks5lem8  42693  acos1half  42842  jm2.23  43448  stoweidlem13  46463  stoweidlem26  46476  stoweidlem34  46484  stoweidlem42  46492  stoweidlem59  46509  stoweid  46513  wallispilem4  46518  smfmullem4  47244  257prm  48046  127prm  48084  nfermltl2rev  48241  usgrexmpl1lem  48519  usgrexmpl2lem  48524  usgrexmpl2nb0  48529  gpgusgralem  48554  gpg3kgrtriexlem3  48583  gpg3kgrtriexlem6  48586  pgnbgreunbgrlem2lem1  48612  pgnbgreunbgrlem2lem2  48613  gpg5edgnedg  48628  sepfsepc  49425