Theorem 3pos 12230

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12199	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11112	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12228	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11639	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11659	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12189	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5118	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146  2c2 12180  3c3 12181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-2 12188  df-3 12189

This theorem is referenced by:  4pos  12232  3rp  12896  fz0to4untppr  13530  fz0to5un2tp  13531  s4fv0  14802  01sqrexlem7  15155  sqrt9  15180  ef01bndlem  16093  cos2bnd  16097  sin01gt0  16099  cos01gt0  16100  rpnnen2lem3  16125  rpnnen2lem4  16126  rpnnen2lem9  16131  flodddiv4  16326  43prm  17033  slotsdifunifndx  17305  tangtx  26442  sincos6thpi  26453  pige3ALT  26457  log2cnv  26882  log2tlbnd  26883  ppiub  27143  bposlem2  27224  bposlem3  27225  bposlem4  27226  bposlem5  27227  lgsdir2lem1  27264  dchrvmasumiflem1  27440  tgcgr4  28510  frgrogt3nreg  30375  friendshipgt3  30376  ex-gcd  30435  cyc3fv3  33106  cyc3conja  33124  evl1deg3  33539  2sqr3minply  33791  cos9thpiminplylem1  33793  hgt750lemd  34659  hgt750lem2  34663  heiborlem5  37861  heiborlem7  37863  3lexlogpow5ineq2  42094  3lexlogpow5ineq4  42095  3lexlogpow5ineq3  42096  3lexlogpow2ineq1  42097  3lexlogpow2ineq2  42098  3lexlogpow5ineq5  42099  aks4d1lem1  42101  aks4d1p1p6  42112  aks4d1p1p5  42114  aks4d1p1  42115  aks4d1p2  42116  aks4d1p3  42117  aks4d1p5  42119  aks4d1p6  42120  aks4d1p7d1  42121  aks4d1p7  42122  aks4d1p8  42126  aks4d1p9  42127  aks6d1c7lem1  42219  aks6d1c7lem2  42220  aks6d1c7  42223  aks5lem6  42231  aks5lem8  42240  acos1half  42397  jm2.23  43035  stoweidlem13  46057  stoweidlem26  46070  stoweidlem34  46078  stoweidlem42  46086  stoweidlem59  46103  stoweid  46107  wallispilem4  46112  smfmullem4  46838  257prm  47598  127prm  47636  nfermltl2rev  47780  usgrexmpl1lem  48058  usgrexmpl2lem  48063  usgrexmpl2nb0  48068  gpgusgralem  48093  gpg3kgrtriexlem3  48122  gpg3kgrtriexlem6  48125  pgnbgreunbgrlem2lem1  48151  pgnbgreunbgrlem2lem2  48152  gpg5edgnedg  48167  sepfsepc  48965