Theorem 3pos 12286

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12255	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12284	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11672	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11692	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12245	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5112	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179  2c2 12236  3c3 12237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-2 12244  df-3 12245

This theorem is referenced by:  4pos  12288  3rp  12948  fz0to4untppr  13584  fz0to5un2tp  13585  s4fv0  14857  01sqrexlem7  15210  sqrt9  15235  ef01bndlem  16151  cos2bnd  16155  sin01gt0  16157  cos01gt0  16158  rpnnen2lem3  16183  rpnnen2lem4  16184  rpnnen2lem9  16189  flodddiv4  16384  43prm  17092  slotsdifunifndx  17364  tangtx  26469  sincos6thpi  26480  pige3ALT  26484  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  ppiub  27167  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  lgsdir2lem1  27288  dchrvmasumiflem1  27464  tgcgr4  28599  frgrogt3nreg  30467  friendshipgt3  30468  ex-gcd  30527  cyc3fv3  33200  cyc3conja  33218  evl1deg3  33638  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem1  33926  hgt750lemd  34792  hgt750lem2  34796  heiborlem5  38136  heiborlem7  38138  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow5ineq4  42495  3lexlogpow5ineq3  42496  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1lem1  42501  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p2  42516  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  aks6d1c7  42623  aks5lem6  42631  aks5lem8  42640  acos1half  42790  jm2.23  43424  stoweidlem13  46441  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  stoweidlem42  46470  stoweidlem59  46487  stoweid  46491  wallispilem4  46496  smfmullem4  47222  257prm  48024  127prm  48062  nfermltl2rev  48219  usgrexmpl1lem  48497  usgrexmpl2lem  48502  usgrexmpl2nb0  48507  gpgusgralem  48532  gpg3kgrtriexlem3  48561  gpg3kgrtriexlem6  48564  pgnbgreunbgrlem2lem1  48590  pgnbgreunbgrlem2lem2  48591  gpg5edgnedg  48606  sepfsepc  49403