Theorem 3pos 12008

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11977	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 10906	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12006	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11427	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11447	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 11967	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5097	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  2c2 11958  3c3 11959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-2 11966  df-3 11967

This theorem is referenced by:  3ne0  12009  4pos  12010  3rp  12665  fz0to4untppr  13288  s4fv0  14536  sqrlem7  14888  sqrt9  14913  ef01bndlem  15821  cos2bnd  15825  sin01gt0  15827  cos01gt0  15828  rpnnen2lem3  15853  rpnnen2lem4  15854  rpnnen2lem9  15859  flodddiv4  16050  43prm  16751  cnfldfun  20522  tangtx  25567  sincos6thpi  25577  pige3ALT  25581  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  ppiub  26257  bposlem2  26338  bposlem3  26339  bposlem4  26340  bposlem5  26341  lgsdir2lem1  26378  dchrvmasumiflem1  26554  tgcgr4  26796  frgrogt3nreg  28662  friendshipgt3  28663  ex-gcd  28722  cyc3fv3  31308  cyc3conja  31326  hgt750lemd  32528  hgt750lem2  32532  heiborlem5  35900  heiborlem7  35902  3lexlogpow5ineq2  39991  3lexlogpow5ineq4  39992  3lexlogpow5ineq3  39993  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  3lexlogpow5ineq5  39996  aks4d1lem1  39998  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p1  40012  aks4d1p2  40013  aks4d1p3  40014  aks4d1p5  40016  aks4d1p6  40017  aks4d1p7d1  40018  aks4d1p7  40019  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  acos1half  40098  jm2.23  40734  stoweidlem13  43444  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  stoweidlem42  43473  stoweidlem59  43490  stoweid  43494  wallispilem4  43499  smfmullem4  44215  257prm  44901  127prm  44939  nfermltl2rev  45083  sepfsepc  46109