Theorem 3pos 12371

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12340	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12369	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11785	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11805	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12330	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5170	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  2c2 12321  3c3 12322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-2 12329  df-3 12330

This theorem is referenced by:  3ne0  12372  4pos  12373  3rp  13040  fz0to4untppr  13670  fz0to5un2tp  13671  s4fv0  14934  01sqrexlem7  15287  sqrt9  15312  ef01bndlem  16220  cos2bnd  16224  sin01gt0  16226  cos01gt0  16227  rpnnen2lem3  16252  rpnnen2lem4  16253  rpnnen2lem9  16258  flodddiv4  16452  43prm  17159  slotsdifunifndx  17445  cnfldfunALTOLDOLD  21393  tangtx  26547  sincos6thpi  26558  pige3ALT  26562  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  ppiub  27248  bposlem2  27329  bposlem3  27330  bposlem4  27331  bposlem5  27332  lgsdir2lem1  27369  dchrvmasumiflem1  27545  tgcgr4  28539  frgrogt3nreg  30416  friendshipgt3  30417  ex-gcd  30476  cyc3fv3  33159  cyc3conja  33177  evl1deg3  33603  2sqr3minply  33791  hgt750lemd  34663  hgt750lem2  34667  heiborlem5  37822  heiborlem7  37824  3lexlogpow5ineq2  42056  3lexlogpow5ineq4  42057  3lexlogpow5ineq3  42058  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1lem1  42063  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p1  42077  aks4d1p2  42078  aks4d1p3  42079  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  aks4d1p7d1  42083  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  aks6d1c7  42185  aks5lem6  42193  aks5lem8  42202  acos1half  42388  jm2.23  43008  stoweidlem13  46028  stoweidlem26  46041  stoweidlem34  46049  stoweidlem42  46057  stoweidlem59  46074  stoweid  46078  wallispilem4  46083  smfmullem4  46809  257prm  47548  127prm  47586  nfermltl2rev  47730  usgrexmpl1lem  47980  usgrexmpl2lem  47985  usgrexmpl2nb0  47990  gpgusgralem  48011  gpg3kgrtriexlem3  48041  gpg3kgrtriexlem6  48044  sepfsepc  48825