Theorem 3pos 12222

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12191	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11104	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12220	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11631	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11651	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12181	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5116	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   < clt 11138  2c2 12172  3c3 12173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-2 12180  df-3 12181

This theorem is referenced by:  4pos  12224  3rp  12888  fz0to4untppr  13522  fz0to5un2tp  13523  s4fv0  14794  01sqrexlem7  15147  sqrt9  15172  ef01bndlem  16085  cos2bnd  16089  sin01gt0  16091  cos01gt0  16092  rpnnen2lem3  16117  rpnnen2lem4  16118  rpnnen2lem9  16123  flodddiv4  16318  43prm  17025  slotsdifunifndx  17297  tangtx  26434  sincos6thpi  26445  pige3ALT  26449  log2cnv  26874  log2tlbnd  26875  ppiub  27135  bposlem2  27216  bposlem3  27217  bposlem4  27218  bposlem5  27219  lgsdir2lem1  27256  dchrvmasumiflem1  27432  tgcgr4  28502  frgrogt3nreg  30367  friendshipgt3  30368  ex-gcd  30427  cyc3fv3  33098  cyc3conja  33116  evl1deg3  33531  2sqr3minply  33783  cos9thpiminplylem1  33785  hgt750lemd  34651  hgt750lem2  34655  heiborlem5  37834  heiborlem7  37836  3lexlogpow5ineq2  42067  3lexlogpow5ineq4  42068  3lexlogpow5ineq3  42069  3lexlogpow2ineq1  42070  3lexlogpow2ineq2  42071  3lexlogpow5ineq5  42072  aks4d1lem1  42074  aks4d1p1p6  42085  aks4d1p1p5  42087  aks4d1p1  42088  aks4d1p2  42089  aks4d1p3  42090  aks4d1p5  42092  aks4d1p6  42093  aks4d1p7d1  42094  aks4d1p7  42095  aks4d1p8  42099  aks4d1p9  42100  aks6d1c7lem1  42192  aks6d1c7lem2  42193  aks6d1c7  42196  aks5lem6  42204  aks5lem8  42213  acos1half  42370  jm2.23  43008  stoweidlem13  46030  stoweidlem26  46043  stoweidlem34  46051  stoweidlem42  46059  stoweidlem59  46076  stoweid  46080  wallispilem4  46085  smfmullem4  46811  257prm  47571  127prm  47609  nfermltl2rev  47753  usgrexmpl1lem  48031  usgrexmpl2lem  48036  usgrexmpl2nb0  48041  gpgusgralem  48066  gpg3kgrtriexlem3  48095  gpg3kgrtriexlem6  48098  pgnbgreunbgrlem2lem1  48124  pgnbgreunbgrlem2lem2  48125  gpg5edgnedg  48140  sepfsepc  48938