Theorem 3pos 12239

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12208	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11121	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12237	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11648	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11668	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12198	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5122	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   < clt 11155  2c2 12189  3c3 12190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-2 12197  df-3 12198

This theorem is referenced by:  4pos  12241  3rp  12900  fz0to4untppr  13534  fz0to5un2tp  13535  s4fv0  14806  01sqrexlem7  15159  sqrt9  15184  ef01bndlem  16097  cos2bnd  16101  sin01gt0  16103  cos01gt0  16104  rpnnen2lem3  16129  rpnnen2lem4  16130  rpnnen2lem9  16135  flodddiv4  16330  43prm  17037  slotsdifunifndx  17309  tangtx  26444  sincos6thpi  26455  pige3ALT  26459  log2cnv  26884  log2tlbnd  26885  ppiub  27145  bposlem2  27226  bposlem3  27227  bposlem4  27228  bposlem5  27229  lgsdir2lem1  27266  dchrvmasumiflem1  27442  tgcgr4  28512  frgrogt3nreg  30381  friendshipgt3  30382  ex-gcd  30441  cyc3fv3  33117  cyc3conja  33135  evl1deg3  33550  2sqr3minply  33816  cos9thpiminplylem1  33818  hgt750lemd  34684  hgt750lem2  34688  heiborlem5  37878  heiborlem7  37880  3lexlogpow5ineq2  42171  3lexlogpow5ineq4  42172  3lexlogpow5ineq3  42173  3lexlogpow2ineq1  42174  3lexlogpow2ineq2  42175  3lexlogpow5ineq5  42176  aks4d1lem1  42178  aks4d1p1p6  42189  aks4d1p1p5  42191  aks4d1p1  42192  aks4d1p2  42193  aks4d1p3  42194  aks4d1p5  42196  aks4d1p6  42197  aks4d1p7d1  42198  aks4d1p7  42199  aks4d1p8  42203  aks4d1p9  42204  aks6d1c7lem1  42296  aks6d1c7lem2  42297  aks6d1c7  42300  aks5lem6  42308  aks5lem8  42317  acos1half  42479  jm2.23  43116  stoweidlem13  46138  stoweidlem26  46151  stoweidlem34  46159  stoweidlem42  46167  stoweidlem59  46184  stoweid  46188  wallispilem4  46193  smfmullem4  46919  257prm  47688  127prm  47726  nfermltl2rev  47870  usgrexmpl1lem  48148  usgrexmpl2lem  48153  usgrexmpl2nb0  48158  gpgusgralem  48183  gpg3kgrtriexlem3  48212  gpg3kgrtriexlem6  48215  pgnbgreunbgrlem2lem1  48241  pgnbgreunbgrlem2lem2  48242  gpg5edgnedg  48257  sepfsepc  49055