MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pos 12259
Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
3pos 0 < 3

Proof of Theorem 3pos
StepHypRef Expression
1 2re 12228 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1re 11156 . . 3 1 ∈ ℝ
3 2pos 12257 . . 3 0 < 2
4 0lt1 11678 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 11698 . 2 0 < (2 + 1)
6 df-3 12218 . 2 3 = (2 + 1)
75, 6breqtrri 5133 1 0 < 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  2c2 12209  3c3 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-2 12217  df-3 12218
This theorem is referenced by:  3ne0  12260  4pos  12261  3rp  12922  fz0to4untppr  13545  s4fv0  14785  01sqrexlem7  15134  sqrt9  15159  ef01bndlem  16067  cos2bnd  16071  sin01gt0  16073  cos01gt0  16074  rpnnen2lem3  16099  rpnnen2lem4  16100  rpnnen2lem9  16105  flodddiv4  16296  43prm  16995  slotsdifunifndx  17283  cnfldfunALTOLD  20813  tangtx  25865  sincos6thpi  25875  pige3ALT  25879  log2cnv  26297  log2tlbnd  26298  ppiub  26555  bposlem2  26636  bposlem3  26637  bposlem4  26638  bposlem5  26639  lgsdir2lem1  26676  dchrvmasumiflem1  26852  tgcgr4  27476  frgrogt3nreg  29344  friendshipgt3  29345  ex-gcd  29404  cyc3fv3  31991  cyc3conja  32009  hgt750lemd  33264  hgt750lem2  33268  heiborlem5  36277  heiborlem7  36279  3lexlogpow5ineq2  40515  3lexlogpow5ineq4  40516  3lexlogpow5ineq3  40517  3lexlogpow2ineq1  40518  3lexlogpow2ineq2  40519  3lexlogpow5ineq5  40520  aks4d1lem1  40522  aks4d1p1p6  40533  aks4d1p1p5  40535  aks4d1p1  40536  aks4d1p2  40537  aks4d1p3  40538  aks4d1p5  40540  aks4d1p6  40541  aks4d1p7d1  40542  aks4d1p7  40543  aks4d1p8  40547  aks4d1p9  40548  acos1half  40625  jm2.23  41323  stoweidlem13  44261  stoweidlem26  44274  stoweidlem34  44282  stoweidlem42  44290  stoweidlem59  44307  stoweid  44311  wallispilem4  44316  smfmullem4  45042  257prm  45760  127prm  45798  nfermltl2rev  45942  sepfsepc  46967
  Copyright terms: Public domain W3C validator