Theorem 3pos 12262

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12231	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 12260	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 11671	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11691	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 12221	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5127	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  2c2 12212  3c3 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-2 12220  df-3 12221

This theorem is referenced by:  4pos  12264  3rp  12923  fz0to4untppr  13558  fz0to5un2tp  13559  s4fv0  14830  01sqrexlem7  15183  sqrt9  15208  ef01bndlem  16121  cos2bnd  16125  sin01gt0  16127  cos01gt0  16128  rpnnen2lem3  16153  rpnnen2lem4  16154  rpnnen2lem9  16159  flodddiv4  16354  43prm  17061  slotsdifunifndx  17333  tangtx  26482  sincos6thpi  26493  pige3ALT  26497  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  ppiub  27183  bposlem2  27264  bposlem3  27265  bposlem4  27266  bposlem5  27267  lgsdir2lem1  27304  dchrvmasumiflem1  27480  tgcgr4  28615  frgrogt3nreg  30484  friendshipgt3  30485  ex-gcd  30544  cyc3fv3  33232  cyc3conja  33250  evl1deg3  33670  2sqr3minply  33957  cos9thpiminplylem1  33959  hgt750lemd  34825  hgt750lem2  34829  heiborlem5  38063  heiborlem7  38065  3lexlogpow5ineq2  42422  3lexlogpow5ineq4  42423  3lexlogpow5ineq3  42424  3lexlogpow2ineq1  42425  3lexlogpow2ineq2  42426  3lexlogpow5ineq5  42427  aks4d1lem1  42429  aks4d1p1p6  42440  aks4d1p1p5  42442  aks4d1p1  42443  aks4d1p2  42444  aks4d1p3  42445  aks4d1p5  42447  aks4d1p6  42448  aks4d1p7d1  42449  aks4d1p7  42450  aks4d1p8  42454  aks4d1p9  42455  aks6d1c7lem1  42547  aks6d1c7lem2  42548  aks6d1c7  42551  aks5lem6  42559  aks5lem8  42568  acos1half  42725  jm2.23  43350  stoweidlem13  46368  stoweidlem26  46381  stoweidlem34  46389  stoweidlem42  46397  stoweidlem59  46414  stoweid  46418  wallispilem4  46423  smfmullem4  47149  257prm  47918  127prm  47956  nfermltl2rev  48100  usgrexmpl1lem  48378  usgrexmpl2lem  48383  usgrexmpl2nb0  48388  gpgusgralem  48413  gpg3kgrtriexlem3  48442  gpg3kgrtriexlem6  48445  pgnbgreunbgrlem2lem1  48471  pgnbgreunbgrlem2lem2  48472  gpg5edgnedg  48487  sepfsepc  49284