Theorem 9pos 12345

Description: The number 9 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
9pos	⊢ 0 < 9

Proof of Theorem 9pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8re 12328	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℝ
2		1re 11227	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		8pos 12344	. . 3 ⊢ 0 < 8
4		0lt1 11751	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11771	. 2 ⊢ 0 < (8 + 1)
6		df-9 12302	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5143	1 ⊢ 0 < 9

Syntax hints:   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  0cc0 11121  1c1 11122   + caddc 11124   < clt 11261  8c8 12293  9c9 12294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302

This theorem is referenced by:  0.999...  15884  cos2bnd  16191  sincos2sgn  16197  sqrt2cxp2logb9e3  26745  log2tlbnd  26891  bposlem4  27234  bposlem5  27235  hgt750lem  34604  3lexlogpow5ineq2  41990  aks4d1lem1  41997  aks4d1p1  42011  aks4d1p6  42016  aks4d1p7d1  42017  aks4d1p7  42018  aks4d1p8  42022  9rp  42276  257prm  47493  31prm  47529  nfermltl2rev  47675