Theorem 9pos 12358

Description: The number 9 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
9pos	⊢ 0 < 9

Proof of Theorem 9pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8re 12341	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℝ
2		1re 11246	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		8pos 12357	. . 3 ⊢ 0 < 8
4		0lt1 11768	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11788	. 2 ⊢ 0 < (8 + 1)
6		df-9 12315	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5176	1 ⊢ 0 < 9

Syntax hints:   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  8c8 12306  9c9 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315

This theorem is referenced by:  0.999...  15863  cos2bnd  16168  sincos2sgn  16174  sqrt2cxp2logb9e3  26776  log2tlbnd  26922  bposlem4  27265  bposlem5  27266  hgt750lem  34414  3lexlogpow5ineq2  41658  aks4d1lem1  41665  aks4d1p1  41679  aks4d1p6  41684  aks4d1p7d1  41685  aks4d1p7  41686  aks4d1p8  41690  257prm  47038  31prm  47074  nfermltl2rev  47220