Theorem addsge01d 28016

Description: A surreal is less-than or equal to itself plus a non-negative surreal. (Contributed by Scott Fenton, 24-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsge01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsge01d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsge01d	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Proof of Theorem addsge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27809	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		addsge01d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		addsge01d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
5	2, 3, 4	leadds2d 27996	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
6	4	addsridd 27965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
7	6	breq1d 5109	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
8	5, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   No csur 27611   ≤s cles 27716   0_s c0s 27805   +_s cadds 27959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616  df-les 27717  df-slts 27758  df-cuts 27760  df-0s 27807  df-made 27827  df-old 27828  df-left 27830  df-right 27831  df-norec2 27949  df-adds 27960

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28467