Theorem addsge01d 27996

Description: A surreal is less-than or equal to itself plus a non-negative surreal. (Contributed by Scott Fenton, 24-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsge01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsge01d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsge01d	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Proof of Theorem addsge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27805	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		addsge01d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		addsge01d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
5	2, 3, 4	sleadd2d 27976	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
6	4	addsridd 27945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
7	6	breq1d 5107	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
8	5, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358   No csur 27609   ≤s csle 27714   0_s c0s 27801   +_s cadds 27939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27612  df-slt 27613  df-bday 27614  df-sle 27715  df-sslt 27756  df-scut 27758  df-0s 27803  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec2 27929  df-adds 27940

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28444