Theorem addsge01d 28028

Description: A surreal is less-than or equal to itself plus a non-negative surreal. (Contributed by Scott Fenton, 24-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsge01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsge01d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsge01d	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Proof of Theorem addsge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27821	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		addsge01d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		addsge01d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
5	2, 3, 4	leadds2d 28008	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
6	4	addsridd 27977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
7	6	breq1d 5084	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 0s ) ≤s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))
8	5, 7	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐵 ↔ 𝐴 ≤s (𝐴 +s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359   No csur 27624   ≤s cles 27728   0_s c0s 27817   +_s cadds 27971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-0s 27819  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843  df-norec2 27961  df-adds 27972

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28479