Theorem affineequiv2 27061

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv2	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv 27060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
6	3, 1	subcld 11593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 2	subcld 11593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
8	4, 6	mulcld 11253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subcanad 11636	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
10	3, 1, 2	nnncan1d 11627	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
11		1cnd 11226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	11, 4, 6	subdird 11695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
13	6	mullidd 11251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
14	13	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
15	12, 14	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)))
16	10, 15	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
17	5, 9, 16	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  chordthmlem4  27072