MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv2 25554
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2
StepHypRef Expression
1 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 affineequiv.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 affineequiv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 affineequiv.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4affineequiv 25553 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
63, 1subcld 11068 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
73, 2subcld 11068 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
84, 6mulcld 10732 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
96, 7, 8subcanad 11111 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
103, 1, 2nnncan1d 11102 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = (𝐵𝐴))
11 1cnd 10707 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1211, 4, 6subdird 11168 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)) = ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
136mulid2d 10730 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐴))
1413oveq1d 7179 . . . 4 (𝜑 → ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
1512, 14eqtr2d 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)))
1610, 15eqeq12d 2754 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
175, 9, 163bitr2d 310 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2113  (class class class)co 7164  cc 10606  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  cmin 10941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-sub 10943
This theorem is referenced by:  chordthmlem4  25565
  Copyright terms: Public domain W3C validator