Theorem affineequiv2 26565

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv2	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv 26564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
6	3, 1	subcld 11575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 2	subcld 11575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
8	4, 6	mulcld 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subcanad 11618	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
10	3, 1, 2	nnncan1d 11609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
11		1cnd 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	11, 4, 6	subdird 11675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
13	6	mullidd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
14	13	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
15	12, 14	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)))
16	10, 15	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
17	5, 9, 16	3bitr2d 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450

This theorem is referenced by:  chordthmlem4  26576