Theorem affineequiv2 26889

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv2	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv 26888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
6	3, 1	subcld 11542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 2	subcld 11542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
8	4, 6	mulcld 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subcanad 11585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
10	3, 1, 2	nnncan1d 11576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
11		1cnd 11175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	11, 4, 6	subdird 11644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
13	6	mullidd 11200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
14	13	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐶 − 𝐴)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
15	12, 14	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)))
16	10, 15	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴) − (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐴) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
17	5, 9, 16	3bitr2d 309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416

This theorem is referenced by:  chordthmlem4  26900