MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv2 25389
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2
StepHypRef Expression
1 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 affineequiv.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 affineequiv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 affineequiv.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4affineequiv 25388 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
63, 1subcld 10975 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
73, 2subcld 10975 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
84, 6mulcld 10639 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
96, 7, 8subcanad 11018 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
103, 1, 2nnncan1d 11009 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = (𝐵𝐴))
11 1cnd 10614 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1211, 4, 6subdird 11075 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)) = ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
136mulid2d 10637 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐴))
1413oveq1d 7148 . . . 4 (𝜑 → ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
1512, 14eqtr2d 2856 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)))
1610, 15eqeq12d 2836 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
175, 9, 163bitr2d 309 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1537  wcel 2114  (class class class)co 7133  cc 10513  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  cmin 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850
This theorem is referenced by:  chordthmlem4  25400
  Copyright terms: Public domain W3C validator