MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv3 26310
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv3 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3
StepHypRef Expression
1 1cnd 11205 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 affineequiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11567 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4 affineequiv.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 11230 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6 affineequiv.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72, 6mulcld 11230 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
85, 7addcomd 11412 . . 3 (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
98eqeq2d 2744 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
116, 10, 4, 2affineequiv 26308 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
1210, 4negsubdi2d 11583 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
1312eqcomd 2739 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = -(𝐴𝐵))
1413eqeq1d 2735 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
156, 4negsubdi2d 11583 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
1615eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) = -(𝐶𝐵))
1716oveq2d 7420 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶𝐵)))
186, 4subcld 11567 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
192, 18mulneg2d 11664 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2017, 19eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2120eqeq2d 2744 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵))))
2210, 4subcld 11567 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
232, 18mulcld 11230 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
2422, 23neg11ad 11563 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
2514, 21, 243bitrd 305 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
269, 11, 253bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  -cneg 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  affineequiv4  26311  affineequivne  26312
  Copyright terms: Public domain W3C validator