Theorem affineequiv3 26762

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11472	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		affineequiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6		affineequiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
9	8	eqeq2d 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	6, 10, 4, 2	affineequiv 26760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
12	10, 4	negsubdi2d 11488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
13	12	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = -(𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
15	6, 4	negsubdi2d 11488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
16	15	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = -(𝐶 − 𝐵))
17	16	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)))
18	6, 4	subcld 11472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulneg2d 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
21	20	eqeq2d 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
22	10, 4	subcld 11472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	2, 18	mulcld 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22, 23	neg11ad 11468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
25	14, 21, 24	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
26	9, 11, 25	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  affineequiv4  26763  affineequivne  26764