MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv3 26567
Description: Equivalence between two ways of expressing ๐ด as an affine combination of ๐ต and ๐ถ. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
affineequiv.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
affineequiv.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
affineequiv.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
affineequiv3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))

Proof of Theorem affineequiv3
StepHypRef Expression
1 1cnd 11214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 affineequiv.d . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11576 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4 affineequiv.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcld 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 affineequiv.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
72, 6mulcld 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
85, 7addcomd 11421 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ท ยท ๐ถ) + ((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต)))
98eqeq2d 2742 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” ๐ด = ((๐ท ยท ๐ถ) + ((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต))))
10 affineequiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
116, 10, 4, 2affineequiv 26565 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ((๐ท ยท ๐ถ) + ((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ))))
1210, 4negsubdi2d 11592 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
1312eqcomd 2737 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) = -(๐ด โˆ’ ๐ต))
1413eqeq1d 2733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†” -(๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ))))
156, 4negsubdi2d 11592 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ถ))
1615eqcomd 2737 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) = -(๐ถ โˆ’ ๐ต))
1716oveq2d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (๐ท ยท -(๐ถ โˆ’ ๐ต)))
186, 4subcld 11576 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
192, 18mulneg2d 11673 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท -(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = -(๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2017, 19eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = -(๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2120eqeq2d 2742 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-(๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†” -(๐ด โˆ’ ๐ต) = -(๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2210, 4subcld 11576 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
232, 18mulcld 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2422, 23neg11ad 11572 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-(๐ด โˆ’ ๐ต) = -(๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2514, 21, 243bitrd 305 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ท ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
269, 11, 253bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451  df-neg 11452
This theorem is referenced by:  affineequiv4  26568  affineequivne  26569
  Copyright terms: Public domain W3C validator