Theorem affineequiv3 26883

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		affineequiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6		affineequiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11461	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
9	8	eqeq2d 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	6, 10, 4, 2	affineequiv 26881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
12	10, 4	negsubdi2d 11634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
13	12	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = -(𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
15	6, 4	negsubdi2d 11634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
16	15	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = -(𝐶 − 𝐵))
17	16	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)))
18	6, 4	subcld 11618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulneg2d 11715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
21	20	eqeq2d 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
22	10, 4	subcld 11618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	2, 18	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22, 23	neg11ad 11614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
25	14, 21, 24	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
26	9, 11, 25	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  affineequiv4  26884  affineequivne  26885