MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv3 25089
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv3 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3
StepHypRef Expression
1 1cnd 10487 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 affineequiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10850 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4 affineequiv.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 10512 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6 affineequiv.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72, 6mulcld 10512 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
85, 7addcomd 10694 . . 3 (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
98eqeq2d 2805 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
116, 10, 4, 2affineequiv 25087 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
1210, 4negsubdi2d 10866 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
1312eqcomd 2801 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = -(𝐴𝐵))
1413eqeq1d 2797 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
156, 4negsubdi2d 10866 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
1615eqcomd 2801 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) = -(𝐶𝐵))
1716oveq2d 7037 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶𝐵)))
186, 4subcld 10850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
192, 18mulneg2d 10947 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2017, 19eqtrd 2831 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2120eqeq2d 2805 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵))))
2210, 4subcld 10850 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
232, 18mulcld 10512 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
2422, 23neg11ad 10846 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
2514, 21, 243bitrd 306 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
269, 11, 253bitrd 306 1 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  (class class class)co 7021  cc 10386  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  cmin 10722  -cneg 10723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-ltxr 10531  df-sub 10724  df-neg 10725
This theorem is referenced by:  affineequiv4  25090  affineequivne  25091
  Copyright terms: Public domain W3C validator