Theorem affineequiv3 26807

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		affineequiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6		affineequiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
9	8	eqeq2d 2750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	6, 10, 4, 2	affineequiv 26805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
12	10, 4	negsubdi2d 11512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
13	12	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = -(𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
15	6, 4	negsubdi2d 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
16	15	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = -(𝐶 − 𝐵))
17	16	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)))
18	6, 4	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulneg2d 11595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
21	20	eqeq2d 2750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
22	10, 4	subcld 11496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	2, 18	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22, 23	neg11ad 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
25	14, 21, 24	3bitrd 306	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
26	9, 11, 25	3bitrd 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  affineequiv4  26808  affineequivne  26809