MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv3 26868
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv3 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3
StepHypRef Expression
1 1cnd 11256 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 affineequiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4 affineequiv.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6 affineequiv.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72, 6mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
85, 7addcomd 11463 . . 3 (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
98eqeq2d 2748 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
116, 10, 4, 2affineequiv 26866 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
1210, 4negsubdi2d 11636 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
1312eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = -(𝐴𝐵))
1413eqeq1d 2739 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶))))
156, 4negsubdi2d 11636 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
1615eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) = -(𝐶𝐵))
1716oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶𝐵)))
186, 4subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
192, 18mulneg2d 11717 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2017, 19eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)))
2120eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ -(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵))))
2210, 4subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
232, 18mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
2422, 23neg11ad 11616 . . 3 (𝜑 → (-(𝐴𝐵) = -(𝐷 · (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
2514, 21, 243bitrd 305 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = (𝐷 · (𝐵𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
269, 11, 253bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  affineequiv4  26869  affineequivne  26870
  Copyright terms: Public domain W3C validator