Theorem affineequiv3 27043

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		affineequiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6		affineequiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
9	8	eqeq2d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	6, 10, 4, 2	affineequiv 27041	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
12	10, 4	negsubdi2d 11602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
13	12	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = -(𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
15	6, 4	negsubdi2d 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
16	15	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = -(𝐶 − 𝐵))
17	16	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)))
18	6, 4	subcld 11586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulneg2d 11685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
21	20	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
22	10, 4	subcld 11586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	2, 18	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22, 23	neg11ad 11582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
25	14, 21, 24	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
26	9, 11, 25	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   − cmin 11458  -cneg 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  affineequiv4  27044  affineequivne  27045