Theorem affineequiv3 25510

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequiv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		affineequiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 10699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐵) ∈ ℂ)
6		affineequiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 10699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 10880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)))
9	8	eqeq2d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵))))
10		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	6, 10, 4, 2	affineequiv 25508	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐷 · 𝐶) + ((1 − 𝐷) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
12	10, 4	negsubdi2d 11051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
13	12	eqcomd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = -(𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶))))
15	6, 4	negsubdi2d 11051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
16	15	eqcomd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = -(𝐶 − 𝐵))
17	16	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)))
18	6, 4	subcld 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulneg2d 11132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -(𝐶 − 𝐵)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)))
21	20	eqeq2d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ -(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
22	10, 4	subcld 11035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	2, 18	mulcld 10699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22, 23	neg11ad 11031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 − 𝐵) = -(𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
25	14, 21, 24	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐷 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
26	9, 11, 25	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   − cmin 10908  -cneg 10909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911

This theorem is referenced by:  affineequiv4  25511  affineequivne  25512