Theorem affineequiv 26954

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4		affineequiv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	subsubd 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
7	1, 3	subcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8	7, 5	addcomd 11412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
9	6, 8	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10		1cnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10, 2, 1	subdird 11671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
12	1	mullidd 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
13	12	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
14	11, 13	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
15	14	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16		affineequiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	1, 4	subcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
20	16, 17, 19	addsubassd 11589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
21	16, 1	pncan3d 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
22	2, 1, 4	subdid 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
23	21, 22	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
24	20, 23	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
25	9, 15, 24	3eqtr4d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
26	25	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
27	16	addridd 11410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
29		0cnd 11199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	17, 19	subcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℂ)
31	16, 29, 30	addcand 11413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
32	26, 28, 31	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
33		eqcom 2776	. . 3 ⊢ (0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
34	32, 33	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0))
35	17, 19	subeq0ad 11579	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
36	34, 35	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443

This theorem is referenced by:  affineequiv2  26955  affineequiv3  26956  angpieqvd  26962  chordthmlem2  26964  chordthmlem4  26966