Theorem affineequiv 26729

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4		affineequiv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	subsubd 11615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
7	1, 3	subcld 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8	7, 5	addcomd 11432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
9	6, 8	eqtr2d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10		1cnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10, 2, 1	subdird 11687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
12	1	mullidd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
13	12	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
14	11, 13	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
15	14	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16		affineequiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	1, 4	subcld 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcld 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
20	16, 17, 19	addsubassd 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
21	16, 1	pncan3d 11590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
22	2, 1, 4	subdid 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
23	21, 22	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
24	20, 23	eqtr3d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
25	9, 15, 24	3eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
26	25	eqeq2d 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
27	16	addridd 11430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqeq1d 2729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
29		0cnd 11223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	17, 19	subcld 11587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℂ)
31	16, 29, 30	addcand 11433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
32	26, 28, 31	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
33		eqcom 2734	. . 3 ⊢ (0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
34	32, 33	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0))
35	17, 19	subeq0ad 11597	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
36	34, 35	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-sub 11462

This theorem is referenced by:  affineequiv2  26730  affineequiv3  26731  angpieqvd  26737  chordthmlem2  26739  chordthmlem4  26741