Theorem affineequiv 26766

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4		affineequiv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	subsubd 11537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
7	1, 3	subcld 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8	7, 5	addcomd 11352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
9	6, 8	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10		1cnd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10, 2, 1	subdird 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
12	1	mullidd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
13	12	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
14	11, 13	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
15	14	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16		affineequiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	1, 4	subcld 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
20	16, 17, 19	addsubassd 11529	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
21	16, 1	pncan3d 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
22	2, 1, 4	subdid 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
23	21, 22	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
24	20, 23	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
25	9, 15, 24	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
26	25	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
27	16	addridd 11350	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
29		0cnd 11143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	17, 19	subcld 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℂ)
31	16, 29, 30	addcand 11353	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
32	26, 28, 31	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
33		eqcom 2736	. . 3 ⊢ (0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
34	32, 33	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0))
35	17, 19	subeq0ad 11519	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
36	34, 35	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  affineequiv2  26767  affineequiv3  26768  angpieqvd  26774  chordthmlem2  26776  chordthmlem4  26778