MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv 26125
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv
StepHypRef Expression
1 affineequiv.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 affineequiv.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
32, 1mulcld 11133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4 affineequiv.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 11133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
61, 3, 5subsubd 11498 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
71, 3subcld 11470 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
87, 5addcomd 11315 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
96, 8eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10 1cnd 11108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110, 2, 1subdird 11570 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
121mulid2d 11131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
1312oveq1d 7366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
1411, 13eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
1514oveq2d 7367 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16 affineequiv.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
171, 16subcld 11470 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
181, 4subcld 11470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
192, 18mulcld 11133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
2016, 17, 19addsubassd 11490 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶𝐵)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
2116, 1pncan3d 11473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
222, 1, 4subdid 11569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
2321, 22oveq12d 7369 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶𝐵)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
2420, 23eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
259, 15, 243eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
2625eqeq2d 2748 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))))
2716addid1d 11313 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqeq1d 2739 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))))
29 0cnd 11106 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3017, 19subcld 11470 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ∈ ℂ)
3116, 29, 30addcand 11316 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
3226, 28, 313bitr2d 306 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
33 eqcom 2744 . . 3 (0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0)
3432, 33bitrdi 286 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0))
3517, 19subeq0ad 11480 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0 ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
3634, 35bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  cmin 11343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345
This theorem is referenced by:  affineequiv2  26126  affineequiv3  26127  angpieqvd  26133  chordthmlem2  26135  chordthmlem4  26137
  Copyright terms: Public domain W3C validator