Theorem affineequiv 26789

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		affineequiv.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4		affineequiv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	subsubd 11520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
7	1, 3	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8	7, 5	addcomd 11335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
9	6, 8	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10		1cnd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10, 2, 1	subdird 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
12	1	mullidd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
13	12	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
14	11, 13	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
15	14	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16		affineequiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	1, 4	subcld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
20	16, 17, 19	addsubassd 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
21	16, 1	pncan3d 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
22	2, 1, 4	subdid 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
23	21, 22	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
24	20, 23	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
25	9, 15, 24	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
26	25	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
27	16	addridd 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
29		0cnd 11125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	17, 19	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℂ)
31	16, 29, 30	addcand 11336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
32	26, 28, 31	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
33		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
34	32, 33	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0))
35	17, 19	subeq0ad 11502	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
36	34, 35	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  affineequiv2  26790  affineequiv3  26791  angpieqvd  26797  chordthmlem2  26799  chordthmlem4  26801