![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > affineid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Identity of an affine combination. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
affineid.f | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
affineid.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
affineid | โข (๐ โ (((1 โ ๐) ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด)) = ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1cnd 11247 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
2 | affineid.x | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
3 | affineid.f | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | subdird 11709 | . . . 4 โข (๐ โ ((1 โ ๐) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โ (๐ ยท ๐ด))) |
5 | 3 | mullidd 11270 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
6 | 5 | oveq1d 7441 | . . . 4 โข (๐ โ ((1 ยท ๐ด) โ (๐ ยท ๐ด)) = (๐ด โ (๐ ยท ๐ด))) |
7 | 4, 6 | eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ โ ((1 โ ๐) ยท ๐ด) = (๐ด โ (๐ ยท ๐ด))) |
8 | 7 | oveq1d 7441 | . 2 โข (๐ โ (((1 โ ๐) ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด)) = ((๐ด โ (๐ ยท ๐ด)) + (๐ ยท ๐ด))) |
9 | 2, 3 | mulcld 11272 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) |
10 | 3, 9 | npcand 11613 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด โ (๐ ยท ๐ด)) + (๐ ยท ๐ด)) = ๐ด) |
11 | 8, 10 | eqtrd 2768 | 1 โข (๐ โ (((1 โ ๐) ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด)) = ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11144 1c1 11147 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โ cmin 11482 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 |
This theorem is referenced by: rrx2vlinest 47892 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |