Theorem affinecomb2 49208

Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
affinecomb2	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		affinecomb1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		affinecomb1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		affinecomb1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
5		affinecomb1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
6		affinecomb1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
7		affinecomb1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
8		eqid 2741	. . 3 ⊢ ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	affinecomb1 49207	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
10	5	recnd 11168	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
11	7	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	3	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	2	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	4	necomd 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
18	14, 15, 17	subne0d 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
19	13, 16, 18	divcld 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
20	1	recnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 15	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	19, 21	mulcld 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 12	addcld 11159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
24	10, 23, 16, 18	mulcand 11778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
25	16, 22, 12	adddid 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)))
26	13, 16, 18	divcan2d 11928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) = (𝐺 − 𝐹))
27	26	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)))
28	16, 19, 21	mulassd 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
29	13, 20, 15	subdid 11601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
31	14, 15, 12	subdird 11602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
32	30, 31	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
33	13, 20	mulcld 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 15	mulcld 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
35	14, 12	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
36	15, 12	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
38	33, 34, 37	subadd23d 11522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
39	32, 38	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
40	14, 12	mulcomd 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
41	15, 12	mulcomd 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
42	40, 41	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
43	11, 12, 15	subdird 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
44	42, 43	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
45	12, 14	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
46	11, 15	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	12, 15	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	nnncan2d 11535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
49	11, 15	mulcomd 11161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
50	49	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
51	44, 48, 50	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
52	51	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
53	25, 39, 52	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
54	53	eqeq2d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
55	9, 24, 54	3bitr2d 309	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372   / cdiv 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803

This theorem is referenced by:  rrx2linest  49247