Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb2 47389
Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
affinecomb1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
affinecomb1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
affinecomb1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
affinecomb1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
affinecomb1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
affinecomb1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
affinecomb2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐ธ) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ด   ๐‘ก,๐ต   ๐‘ก,๐ถ   ๐‘ก,๐ธ   ๐‘ก,๐น   ๐œ‘,๐‘ก   ๐‘ก,๐บ

Proof of Theorem affinecomb2
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 affinecomb1.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 affinecomb1.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 affinecomb1.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
5 affinecomb1.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
6 affinecomb1.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
7 affinecomb1.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
8 eqid 2733 . . 3 ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8affinecomb1 47388 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
105recnd 11242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
117recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
126recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1311, 12subcld 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ ๐น) โˆˆ โ„‚)
143recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
152recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1614, 15subcld 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
174necomd 2997 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
1814, 15, 17subne0d 11580 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
1913, 16, 18divcld 11990 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
201recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2120, 15subcld 11571 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2219, 21mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2322, 12addcld 11233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น) โˆˆ โ„‚)
2410, 23, 16, 18mulcand 11847 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐ธ) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)) โ†” ๐ธ = ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
2516, 22, 12adddid 11238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) + ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐น)))
2613, 16, 18divcan2d 11992 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (๐บ โˆ’ ๐น))
2726oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2816, 19, 21mulassd 11237 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
2913, 20, 15subdid 11670 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)))
3027, 28, 293eqtr3d 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)))
3114, 15, 12subdird 11671 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐น) = ((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)))
3230, 31oveq12d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) + ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐น)) = ((((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)) + ((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น))))
3313, 20mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3413, 15mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3514, 12mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
3615, 12mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
3735, 36subcld 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
3833, 34, 37subadd23d 11593 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)) + ((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น))) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + (((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต))))
3932, 38eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) + ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + (((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต))))
4014, 12mulcomd 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐น) = (๐น ยท ๐ถ))
4115, 12mulcomd 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐น) = (๐น ยท ๐ต))
4240, 41oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) = ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐น ยท ๐ต)))
4311, 12, 15subdird 11671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต) = ((๐บ ยท ๐ต) โˆ’ (๐น ยท ๐ต)))
4442, 43oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)) = (((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐น ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐บ ยท ๐ต) โˆ’ (๐น ยท ๐ต))))
4512, 14mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4611, 15mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4712, 15mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4845, 46, 47nnncan2d 11606 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐น ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐บ ยท ๐ต) โˆ’ (๐น ยท ๐ต))) = ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐บ ยท ๐ต)))
4911, 15mulcomd 11235 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐บ))
5049oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐บ ยท ๐ต)) = ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ)))
5144, 48, 503eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต)) = ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ)))
5251oveq2d 7425 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + (((๐ถ ยท ๐น) โˆ’ (๐ต ยท ๐น)) โˆ’ ((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ต))) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ))))
5325, 39, 523eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ))))
5453eqeq2d 2744 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐ธ) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)) โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐ธ) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ)))))
559, 24, 543bitr2d 307 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐ธ) = (((๐บ โˆ’ ๐น) ยท ๐ด) + ((๐น ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐บ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  rrx2linest  47428
  Copyright terms: Public domain W3C validator