Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb2 48553
Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d (𝜑𝐵𝐶)
affinecomb1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
affinecomb2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 affinecomb1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 affinecomb1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 affinecomb1.d . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
5 affinecomb1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
6 affinecomb1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
7 affinecomb1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
8 eqid 2735 . . 3 ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8affinecomb1 48552 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
105recnd 11287 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
117recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
126recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
1311, 12subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℂ)
143recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
152recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
174necomd 2994 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
1814, 15, 17subne0d 11627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
1913, 16, 18divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
201recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120, 15subcld 11618 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2219, 21mulcld 11279 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2322, 12addcld 11278 . . 3 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
2410, 23, 16, 18mulcand 11894 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝐸) = ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
2516, 22, 12adddid 11283 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)))
2613, 16, 18divcan2d 12043 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) = (𝐺𝐹))
2726oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) · (𝐴𝐵)) = ((𝐺𝐹) · (𝐴𝐵)))
2816, 19, 21mulassd 11282 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) · (𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))))
2913, 20, 15subdid 11717 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)))
3027, 28, 293eqtr3d 2783 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)))
3114, 15, 12subdird 11718 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
3230, 31oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
3313, 20mulcld 11279 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
3413, 15mulcld 11279 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
3514, 12mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
3615, 12mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
3833, 34, 37subadd23d 11640 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))))
3932, 38eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))))
4014, 12mulcomd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
4115, 12mulcomd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
4240, 41oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
4311, 12, 15subdird 11718 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
4442, 43oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
4512, 14mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
4611, 15mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
4712, 15mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
4845, 46, 47nnncan2d 11653 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
4911, 15mulcomd 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
5049oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
5144, 48, 503eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
5251oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
5325, 39, 523eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
5453eqeq2d 2746 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝐸) = ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
559, 24, 543bitr2d 307 1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by:  rrx2linest  48592
  Copyright terms: Public domain W3C validator