Theorem affinecomb2 43449

Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
affinecomb2	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		affinecomb1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		affinecomb1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		affinecomb1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
5		affinecomb1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
6		affinecomb1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
7		affinecomb1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
8		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	affinecomb1 43448	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
10	5	recnd 10407	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
11	7	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
12	6	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 10736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	3	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	2	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	subcld 10736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	4	necomd 3024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
18	14, 15, 17	subne0d 10745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
19	13, 16, 18	divcld 11153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
20	1	recnd 10407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 15	subcld 10736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	19, 21	mulcld 10399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 12	addcld 10398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
24	10, 23, 16, 18	mulcand 11010	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
25	16, 22, 12	adddid 10403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)))
26	13, 16, 18	divcan2d 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) = (𝐺 − 𝐹))
27	26	oveq1d 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)))
28	16, 19, 21	mulassd 10402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
29	13, 20, 15	subdid 10833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
31	14, 15, 12	subdird 10834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
32	30, 31	oveq12d 6942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
33	13, 20	mulcld 10399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 15	mulcld 10399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
35	14, 12	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
36	15, 12	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 10736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
38	33, 34, 37	subadd23d 10758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
39	32, 38	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
40	14, 12	mulcomd 10400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
41	15, 12	mulcomd 10400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
42	40, 41	oveq12d 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
43	11, 12, 15	subdird 10834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
44	42, 43	oveq12d 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
45	12, 14	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
46	11, 15	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	12, 15	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	nnncan2d 10771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
49	11, 15	mulcomd 10400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
50	49	oveq2d 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
51	44, 48, 50	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
52	51	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
53	25, 39, 52	3eqtrd 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
54	53	eqeq2d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
55	9, 24, 54	3bitr2d 299	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   − cmin 10608   / cdiv 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035

This theorem is referenced by:  rrx2linest  43488