Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb2 45056
Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d (𝜑𝐵𝐶)
affinecomb1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
affinecomb2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 affinecomb1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 affinecomb1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 affinecomb1.d . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
5 affinecomb1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
6 affinecomb1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
7 affinecomb1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
8 eqid 2822 . . 3 ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8affinecomb1 45055 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
105recnd 10658 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
117recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
126recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10986 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℂ)
143recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
152recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15subcld 10986 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
174necomd 3066 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
1814, 15, 17subne0d 10995 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
1913, 16, 18divcld 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
201recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120, 15subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2219, 21mulcld 10650 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2322, 12addcld 10649 . . 3 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
2410, 23, 16, 18mulcand 11262 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝐸) = ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
2516, 22, 12adddid 10654 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)))
2613, 16, 18divcan2d 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) = (𝐺𝐹))
2726oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) · (𝐴𝐵)) = ((𝐺𝐹) · (𝐴𝐵)))
2816, 19, 21mulassd 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))) · (𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))))
2913, 20, 15subdid 11085 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)))
3027, 28, 293eqtr3d 2865 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)))
3114, 15, 12subdird 11086 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
3230, 31oveq12d 7158 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
3313, 20mulcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
3413, 15mulcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
3514, 12mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
3615, 12mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10986 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
3833, 34, 37subadd23d 11008 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) · 𝐴) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))))
3932, 38eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))) + ((𝐶𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))))
4014, 12mulcomd 10651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
4115, 12mulcomd 10651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
4240, 41oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
4311, 12, 15subdird 11086 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
4442, 43oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
4512, 14mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
4611, 15mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
4712, 15mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
4845, 46, 47nnncan2d 11021 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
4911, 15mulcomd 10651 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
5049oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
5144, 48, 503eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
5251oveq2d 7156 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
5325, 39, 523eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
5453eqeq2d 2833 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝐸) = ((𝐶𝐵) · ((((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
559, 24, 543bitr2d 310 1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶𝐵) · 𝐸) = (((𝐺𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  (class class class)co 7140  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  rrx2linest  45095
  Copyright terms: Public domain W3C validator