Theorem affinecomb2 48698

Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
affinecomb2	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		affinecomb1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		affinecomb1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		affinecomb1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
5		affinecomb1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
6		affinecomb1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
7		affinecomb1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	affinecomb1 48697	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
10	5	recnd 11143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
11	7	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	3	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	2	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	subcld 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	4	necomd 2980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
18	14, 15, 17	subne0d 11484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
19	13, 16, 18	divcld 11900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
20	1	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 15	subcld 11475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	19, 21	mulcld 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 12	addcld 11134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
24	10, 23, 16, 18	mulcand 11753	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
25	16, 22, 12	adddid 11139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)))
26	13, 16, 18	divcan2d 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) = (𝐺 − 𝐹))
27	26	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)))
28	16, 19, 21	mulassd 11138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
29	13, 20, 15	subdid 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
31	14, 15, 12	subdird 11577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
32	30, 31	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
33	13, 20	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 15	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
35	14, 12	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
36	15, 12	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
38	33, 34, 37	subadd23d 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
39	32, 38	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
40	14, 12	mulcomd 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
41	15, 12	mulcomd 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
42	40, 41	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
43	11, 12, 15	subdird 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
44	42, 43	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
45	12, 14	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
46	11, 15	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	12, 15	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	nnncan2d 11510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
49	11, 15	mulcomd 11136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
50	49	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
51	44, 48, 50	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
52	51	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
53	25, 39, 52	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
54	53	eqeq2d 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
55	9, 24, 54	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347   / cdiv 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778

This theorem is referenced by:  rrx2linest  48737