Theorem affinecomb2 47473

Description: Combination of two real affine combinations, presented without fraction. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
affinecomb2	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝐺

Proof of Theorem affinecomb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		affinecomb1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		affinecomb1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		affinecomb1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
5		affinecomb1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
6		affinecomb1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
7		affinecomb1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
8		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	affinecomb1 47472	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
10	5	recnd 11244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
11	7	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	3	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	2	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	subcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	4	necomd 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
18	14, 15, 17	subne0d 11582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
19	13, 16, 18	divcld 11992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
20	1	recnd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 15	subcld 11573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	19, 21	mulcld 11236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 12	addcld 11235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) ∈ ℂ)
24	10, 23, 16, 18	mulcand 11849	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ 𝐸 = ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
25	16, 22, 12	adddid 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)))
26	13, 16, 18	divcan2d 11994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) = (𝐺 − 𝐹))
27	26	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)))
28	16, 19, 21	mulassd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
29	13, 20, 15	subdid 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)))
31	14, 15, 12	subdird 11673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹) = ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)))
32	30, 31	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))))
33	13, 20	mulcld 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 15	mulcld 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) ∈ ℂ)
35	14, 12	mulcld 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ ℂ)
36	15, 12	mulcld 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
38	33, 34, 37	subadd23d 11595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) + ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
39	32, 38	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) + ((𝐶 − 𝐵) · 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))))
40	14, 12	mulcomd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐶))
41	15, 12	mulcomd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) = (𝐹 · 𝐵))
42	40, 41	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)))
43	11, 12, 15	subdird 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵) = ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵)))
44	42, 43	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))))
45	12, 14	mulcld 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐶) ∈ ℂ)
46	11, 15	mulcld 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	12, 15	mulcld 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	nnncan2d 11608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 · 𝐶) − (𝐹 · 𝐵)) − ((𝐺 · 𝐵) − (𝐹 · 𝐵))) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)))
49	11, 15	mulcomd 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐺))
50	49	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐶) − (𝐺 · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
51	44, 48, 50	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵)) = ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))
52	51	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + (((𝐶 · 𝐹) − (𝐵 · 𝐹)) − ((𝐺 − 𝐹) · 𝐵))) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
53	25, 39, 52	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺))))
54	53	eqeq2d 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = ((𝐶 − 𝐵) · ((((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))
55	9, 24, 54	3bitr2d 306	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) · 𝐸) = (((𝐺 − 𝐹) · 𝐴) + ((𝐹 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐺)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11446   / cdiv 11873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874

This theorem is referenced by:  rrx2linest  47512