Theorem npcand 11575

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  addlsub  11630  npcan1  11639  ltsubadd  11684  lesubadd  11686  lesub1  11708  lincmb01cmp  13472  expaddzlem  14071  bcpasc  14281  bcn2m1  14284  cshwidxmod  14753  repswcshw  14762  swrds2m  14892  shftuz  15016  o1dif  15574  arisum2  15807  ntrivcvg  15843  ntrivcvgtail  15846  prodrblem  15873  fprodser  15893  fprodm1  15911  risefacval2  15954  fallfacval2  15955  fallfacfwd  15980  binomfallfaclem2  15984  sin01bnd  16128  moddvds  16208  dvdsexp  16271  bitscmp  16379  hashdvds  16708  vdwlem5  16918  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  srgbinomlem4  20052  uniioombllem3  25102  i1faddlem  25210  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  dvcnp2  25437  ftc1lem4  25556  dgrcolem2  25788  plydivlem4  25809  aaliou3lem8  25858  dvtaylp  25882  dvntaylp0  25884  taylthlem1  25885  efif1olem4  26054  tanarg  26127  quart1  26361  dmgmaddnn0  26531  lgamgulm2  26540  gamfac  26571  basellem9  26593  chtublem  26714  logexprlim  26728  dchrptlem1  26767  lgsquadlem1  26883  mudivsum  27033  logsqvma  27045  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  pntrlog2bndlem5  27084  pntlem3  27112  ostth2lem2  27137  brbtwn2  28194  cusgrsize2inds  28741  clwlkclwwlklem2  29284  clwwisshclwws  29299  clwwlkel  29330  clwwlkf  29331  clwwlknonex2lem1  29391  2clwwlk2clwwlk  29634  numclwwlk2  29665  fzspl  32032  fzsplit3  32036  bcm1n  32037  wrdt2ind  32148  swrdrn3  32150  omndmul3  32262  psgnfzto1stlem  32290  cycpmco2lem5  32320  cycpmco2lem6  32321  freshmansdream  32412  ballotlemfc0  33522  ballotlemfcc  33523  signstfvn  33611  reprsuc  33658  breprexplemc  33675  lpadlen2  33724  revwlk  34146  bcm1nt  34738  gg-dvcnp2  35205  itg2addnclem  36587  ftc1cnnclem  36607  ftc1anc  36617  caushft  36677  fzsplitnd  40896  lcmfunnnd  40925  lcmineqlem4  40945  lcmineqlem23  40964  intlewftc  40974  dvle2  40985  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  sticksstones16  41026  metakunt8  41040  nicomachus  41258  fltnltalem  41452  pellexlem6  41620  rmspecfund  41695  rmyluc  41724  jm2.18  41775  jm2.25  41786  hbtlem4  41916  bccm1k  43149  binomcxplemwb  43155  binomcxplemnotnn0  43163  oddfl  44035  zltlesub  44043  fzisoeu  44058  fperiodmul  44062  fzdifsuc2  44068  iccshift  44279  iooshift  44283  fmul01lt1lem2  44349  limcperiod  44392  sumnnodd  44394  cncfperiod  44643  fperdvper  44683  dvbdfbdioolem2  44693  dvnmul  44707  itgsinexp  44719  itgperiod  44745  stoweidlem11  44775  stoweidlem14  44778  stoweidlem26  44790  stoweidlem34  44798  wallispilem5  44833  stirlinglem5  44842  stirlinglem11  44848  stirlinglem12  44849  dirkercncflem1  44867  fourierdlem11  44882  fourierdlem15  44886  fourierdlem26  44897  fourierdlem41  44912  fourierdlem42  44913  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem63  44933  fourierdlem64  44934  fourierdlem65  44935  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem79  44949  fourierdlem81  44951  fourierdlem84  44954  fourierdlem88  44958  fourierdlem90  44960  fourierdlem92  44962  fourierdlem95  44965  fourierdlem97  44967  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem109  44979  fourierdlem111  44981  fourierswlem  44994  fouriersw  44995  elaa2lem  44997  etransclem23  45021  etransclem24  45022  etransclem28  45026  etransclem38  45036  smfmullem1  45555  fargshiftfo  46158  lighneallem3  46323  nnsum4primeseven  46516  nnsum4primesevenALTV  46517  bgoldbtbndlem4  46524  bgoldbtbnd  46525  m1modmmod  47255  dignn0flhalflem1  47349  affineid  47438  eenglngeehlnmlem1  47471  itsclquadb  47510