Theorem npcand 11003

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 10897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  addlsub  11058  npcan1  11067  ltsubadd  11112  lesubadd  11114  lesub1  11136  lincmb01cmp  12884  expaddzlem  13475  bcpasc  13684  bcn2m1  13687  cshwidxmod  14167  repswcshw  14176  swrds2m  14305  shftuz  14430  o1dif  14988  arisum2  15218  ntrivcvg  15255  ntrivcvgtail  15258  prodrblem  15285  fprodser  15305  fprodm1  15323  risefacval2  15366  fallfacval2  15367  fallfacfwd  15392  binomfallfaclem2  15396  sin01bnd  15540  moddvds  15620  dvdsexp  15679  bitscmp  15789  hashdvds  16114  vdwlem5  16323  vdwlem6  16324  vdwlem8  16326  srgbinomlem4  19295  uniioombllem3  24188  i1faddlem  24296  itg1addlem4  24302  dvcnp2  24519  ftc1lem4  24638  dgrcolem2  24866  plydivlem4  24887  aaliou3lem8  24936  dvtaylp  24960  dvntaylp0  24962  taylthlem1  24963  efif1olem4  25131  tanarg  25204  quart1  25436  dmgmaddnn0  25606  lgamgulm2  25615  gamfac  25646  basellem9  25668  chtublem  25789  logexprlim  25803  dchrptlem1  25842  lgsquadlem1  25958  mudivsum  26108  logsqvma  26120  log2sumbnd  26122  selberglem2  26124  pntrlog2bndlem5  26159  pntlem3  26187  ostth2lem2  26212  brbtwn2  26693  cusgrsize2inds  27237  clwlkclwwlklem2  27780  clwwisshclwws  27795  clwwlkel  27827  clwwlkf  27828  clwwlknonex2lem1  27888  2clwwlk2clwwlk  28131  numclwwlk2  28162  fzspl  30515  fzsplit3  30519  bcm1n  30520  wrdt2ind  30629  swrdrn3  30631  omndmul3  30716  psgnfzto1stlem  30744  cycpmco2lem5  30774  cycpmco2lem6  30775  freshmansdream  30861  ballotlemfc0  31752  ballotlemfcc  31753  signstfvn  31841  reprsuc  31888  breprexplemc  31905  lpadlen2  31954  revwlk  32373  bcm1nt  32971  itg2addnclem  34945  ftc1cnnclem  34967  ftc1anc  34977  caushft  35038  fltnltalem  39281  pellexlem6  39438  rmspecfund  39513  rmyluc  39541  jm2.18  39592  jm2.25  39603  hbtlem4  39733  bccm1k  40681  binomcxplemwb  40687  binomcxplemnotnn0  40695  oddfl  41550  zltlesub  41558  fzisoeu  41574  fperiodmul  41578  fzdifsuc2  41584  iccshift  41801  iooshift  41805  fmul01lt1lem2  41873  limcperiod  41916  sumnnodd  41918  cncfperiod  42169  fperdvper  42210  dvbdfbdioolem2  42221  dvnmul  42235  itgsinexp  42247  itgperiod  42273  stoweidlem11  42303  stoweidlem14  42306  stoweidlem26  42318  stoweidlem34  42326  wallispilem5  42361  stirlinglem5  42370  stirlinglem11  42376  stirlinglem12  42377  dirkercncflem1  42395  fourierdlem11  42410  fourierdlem15  42414  fourierdlem26  42425  fourierdlem41  42440  fourierdlem42  42441  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem63  42461  fourierdlem64  42462  fourierdlem65  42463  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem79  42477  fourierdlem81  42479  fourierdlem84  42482  fourierdlem88  42486  fourierdlem90  42488  fourierdlem92  42490  fourierdlem95  42493  fourierdlem97  42495  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem109  42507  fourierdlem111  42509  fourierswlem  42522  fouriersw  42523  elaa2lem  42525  etransclem23  42549  etransclem24  42550  etransclem28  42554  etransclem38  42564  smfmullem1  43073  fargshiftfo  43609  lighneallem3  43779  nnsum4primeseven  43972  nnsum4primesevenALTV  43973  bgoldbtbndlem4  43980  bgoldbtbnd  43981  m1modmmod  44588  dignn0flhalflem1  44682  affineid  44698  eenglngeehlnmlem1  44731  itsclquadb  44770