Theorem npcand 11624

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  addlsub  11679  npcan1  11688  ltsubadd  11733  lesubadd  11735  lesub1  11757  lincmb01cmp  13535  expaddzlem  14146  bcpasc  14360  bcn2m1  14363  cshwidxmod  14841  repswcshw  14850  swrds2m  14980  shftuz  15108  o1dif  15666  arisum2  15897  ntrivcvg  15933  ntrivcvgtail  15936  prodrblem  15965  fprodser  15985  fprodm1  16003  risefacval2  16046  fallfacval2  16047  fallfacfwd  16072  binomfallfaclem2  16076  sin01bnd  16221  moddvds  16301  dvdsexp  16365  bitscmp  16475  hashdvds  16812  vdwlem5  17023  vdwlem6  17024  vdwlem8  17026  srgbinomlem4  20226  freshmansdream  21593  psdmul  22170  uniioombllem3  25620  i1faddlem  25728  itg1addlem4  25734  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  ftc1lem4  26080  dgrcolem2  26314  plydivlem4  26338  aaliou3lem8  26387  dvtaylp  26412  dvntaylp0  26414  taylthlem1  26415  efif1olem4  26587  tanarg  26661  quart1  26899  dmgmaddnn0  27070  lgamgulm2  27079  gamfac  27110  basellem9  27132  chtublem  27255  logexprlim  27269  dchrptlem1  27308  lgsquadlem1  27424  mudivsum  27574  logsqvma  27586  log2sumbnd  27588  selberglem2  27590  pntrlog2bndlem5  27625  pntlem3  27653  ostth2lem2  27678  brbtwn2  28920  cusgrsize2inds  29471  clwlkclwwlklem2  30019  clwwisshclwws  30034  clwwlkel  30065  clwwlkf  30066  clwwlknonex2lem1  30126  2clwwlk2clwwlk  30369  numclwwlk2  30400  fzspl  32791  fzsplit3  32795  bcm1n  32797  wrdt2ind  32938  swrdrn3  32940  omndmul3  33090  psgnfzto1stlem  33120  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  ballotlemfc0  34495  ballotlemfcc  34496  signstfvn  34584  reprsuc  34630  breprexplemc  34647  lpadlen2  34696  revwlk  35130  bcm1nt  35737  itg2addnclem  37678  ftc1cnnclem  37698  ftc1anc  37708  caushft  37768  fzsplitnd  41983  lcmfunnnd  42013  lcmineqlem4  42033  lcmineqlem23  42052  intlewftc  42062  dvle2  42073  primrootsunit1  42098  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones16  42163  unitscyglem5  42200  metakunt8  42213  nicomachus  42346  fltnltalem  42672  pellexlem6  42845  rmspecfund  42920  rmyluc  42949  jm2.18  43000  jm2.25  43011  hbtlem4  43138  bccm1k  44361  binomcxplemwb  44367  binomcxplemnotnn0  44375  oddfl  45289  zltlesub  45297  fzisoeu  45312  fperiodmul  45316  fzdifsuc2  45322  iccshift  45531  iooshift  45535  fmul01lt1lem2  45600  limcperiod  45643  sumnnodd  45645  cncfperiod  45894  fperdvper  45934  dvbdfbdioolem2  45944  dvnmul  45958  itgsinexp  45970  itgperiod  45996  stoweidlem11  46026  stoweidlem14  46029  stoweidlem26  46041  stoweidlem34  46049  wallispilem5  46084  stirlinglem5  46093  stirlinglem11  46099  stirlinglem12  46100  dirkercncflem1  46118  fourierdlem11  46133  fourierdlem15  46137  fourierdlem26  46148  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem79  46200  fourierdlem81  46202  fourierdlem84  46205  fourierdlem88  46209  fourierdlem90  46211  fourierdlem92  46213  fourierdlem95  46216  fourierdlem97  46218  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem109  46230  fourierdlem111  46232  fourierswlem  46245  fouriersw  46246  elaa2lem  46248  etransclem23  46272  etransclem24  46273  etransclem28  46277  etransclem38  46287  smfmullem1  46806  fargshiftfo  47429  lighneallem3  47594  nnsum4primeseven  47787  nnsum4primesevenALTV  47788  bgoldbtbndlem4  47795  bgoldbtbnd  47796  gpgedgvtx1  48020  m1modmmod  48442  dignn0flhalflem1  48536  affineid  48625  eenglngeehlnmlem1  48658  itsclquadb  48697