Theorem npcand 11536

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061   + caddc 11066   − cmin 11404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406

This theorem is referenced by:  addlsub  11593  npcan1  11602  ltsubadd  11647  lesubadd  11649  lesub1  11671  lincmb01cmp  13489  expaddzlem  14108  bcpasc  14324  bcn2m1  14327  cshwidxmod  14806  repswcshw  14815  swrds2m  14944  shftuz  15072  o1dif  15633  arisum2  15867  ntrivcvg  15903  ntrivcvgtail  15906  prodrblem  15935  fprodser  15955  fprodm1  15973  risefacval2  16016  fallfacval2  16017  fallfacfwd  16042  binomfallfaclem2  16046  sin01bnd  16193  moddvds  16273  dvdsexp  16338  bitscmp  16448  hashdvds  16786  vdwlem5  16997  vdwlem6  16998  vdwlem8  17000  chnrev  18635  omndmul3  20150  srgbinomlem4  20251  freshmansdream  21599  psdmul  22204  uniioombllem3  25620  i1faddlem  25728  itg1addlem4  25734  dvcnp2  25955  ftc1lem4  26074  dgrcolem2  26307  plydivlem4  26330  aaliou3lem8  26379  dvtaylp  26403  dvntaylp0  26405  taylthlem1  26406  efif1olem4  26580  tanarg  26654  quart1  26891  dmgmaddnn0  27061  lgamgulm2  27070  gamfac  27101  basellem9  27123  chtublem  27245  logexprlim  27259  dchrptlem1  27298  lgsquadlem1  27414  mudivsum  27564  logsqvma  27576  log2sumbnd  27578  selberglem2  27580  pntrlog2bndlem5  27615  pntlem3  27643  ostth2lem2  27668  brbtwn2  29045  cusgrsize2inds  29593  clwlkclwwlklem2  30141  clwwisshclwws  30156  clwwlkel  30187  clwwlkf  30188  clwwlknonex2lem1  30248  2clwwlk2clwwlk  30491  numclwwlk2  30522  fzspl  32934  fzsplit3  32938  bcm1n  32940  oexpled  32992  wrdt2ind  33085  swrdrn3  33087  psgnfzto1stlem  33234  cycpmco2lem5  33264  cycpmco2lem6  33265  esplyfvn  33828  vietalem  33830  ballotlemfc0  34744  ballotlemfcc  34745  signstfvn  34820  reprsuc  34866  breprexplemc  34883  lpadlen2  34935  revwlk  35423  bcm1nt  36035  itg2addnclem  38118  ftc1cnnclem  38138  ftc1anc  38148  caushft  38208  fzsplitnd  42547  lcmfunnnd  42577  lcmineqlem4  42597  lcmineqlem23  42616  intlewftc  42626  dvle2  42637  primrootsunit1  42662  aks6d1c5lem3  42702  aks6d1c5lem2  42703  sticksstones10  42720  sticksstones12a  42722  sticksstones16  42727  unitscyglem5  42764  nicomachus  42869  fltnltalem  43192  pellexlem6  43359  rmspecfund  43434  rmyluc  43462  jm2.18  43513  jm2.25  43524  hbtlem4  43651  bccm1k  44866  binomcxplemwb  44872  binomcxplemnotnn0  44880  oddfl  45805  zltlesub  45812  fzisoeu  45827  fperiodmul  45831  fzdifsuc2  45837  iccshift  46042  iooshift  46046  fmul01lt1lem2  46109  limcperiod  46152  sumnnodd  46154  cncfperiod  46401  fperdvper  46441  dvbdfbdioolem2  46451  dvnmul  46465  itgsinexp  46477  itgperiod  46503  stoweidlem11  46533  stoweidlem14  46536  stoweidlem26  46548  stoweidlem34  46556  wallispilem5  46591  stirlinglem5  46600  stirlinglem11  46606  stirlinglem12  46607  dirkercncflem1  46625  fourierdlem11  46640  fourierdlem15  46644  fourierdlem26  46655  fourierdlem41  46670  fourierdlem42  46671  fourierdlem48  46676  fourierdlem49  46677  fourierdlem63  46691  fourierdlem64  46692  fourierdlem65  46693  fourierdlem74  46702  fourierdlem75  46703  fourierdlem79  46707  fourierdlem81  46709  fourierdlem84  46712  fourierdlem88  46716  fourierdlem90  46718  fourierdlem92  46720  fourierdlem95  46723  fourierdlem97  46725  fourierdlem103  46731  fourierdlem104  46732  fourierdlem109  46737  fourierdlem111  46739  fourierswlem  46752  fouriersw  46753  elaa2lem  46755  etransclem23  46779  etransclem24  46780  etransclem28  46784  etransclem38  46794  smfmullem1  47313  m1modmmod  47906  fargshiftfo  47996  lighneallem3  48164  nnsum4primeseven  48370  nnsum4primesevenALTV  48371  bgoldbtbndlem4  48378  bgoldbtbnd  48379  gpgedgvtx1  48632  dignn0flhalflem1  49185  affineid  49274  eenglngeehlnmlem1  49307  itsclquadb  49346