Theorem npcand 11497

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  addlsub  11554  npcan1  11563  ltsubadd  11608  lesubadd  11610  lesub1  11632  lincmb01cmp  13416  expaddzlem  14030  bcpasc  14246  bcn2m1  14249  cshwidxmod  14727  repswcshw  14736  swrds2m  14866  shftuz  14994  o1dif  15555  arisum2  15786  ntrivcvg  15822  ntrivcvgtail  15825  prodrblem  15854  fprodser  15874  fprodm1  15892  risefacval2  15935  fallfacval2  15936  fallfacfwd  15961  binomfallfaclem2  15965  sin01bnd  16112  moddvds  16192  dvdsexp  16257  bitscmp  16367  hashdvds  16704  vdwlem5  16915  vdwlem6  16916  vdwlem8  16918  omndmul3  20031  srgbinomlem4  20132  freshmansdream  21499  psdmul  22069  uniioombllem3  25502  i1faddlem  25610  itg1addlem4  25616  dvcnp2  25837  dvcnp2OLD  25838  ftc1lem4  25962  dgrcolem2  26196  plydivlem4  26220  aaliou3lem8  26269  dvtaylp  26294  dvntaylp0  26296  taylthlem1  26297  efif1olem4  26470  tanarg  26544  quart1  26782  dmgmaddnn0  26953  lgamgulm2  26962  gamfac  26993  basellem9  27015  chtublem  27138  logexprlim  27152  dchrptlem1  27191  lgsquadlem1  27307  mudivsum  27457  logsqvma  27469  log2sumbnd  27471  selberglem2  27473  pntrlog2bndlem5  27508  pntlem3  27536  ostth2lem2  27561  brbtwn2  28868  cusgrsize2inds  29417  clwlkclwwlklem2  29962  clwwisshclwws  29977  clwwlkel  30008  clwwlkf  30009  clwwlknonex2lem1  30069  2clwwlk2clwwlk  30312  numclwwlk2  30343  fzspl  32745  fzsplit3  32749  bcm1n  32751  oexpled  32805  wrdt2ind  32908  swrdrn3  32910  psgnfzto1stlem  33055  cycpmco2lem5  33085  cycpmco2lem6  33086  ballotlemfc0  34460  ballotlemfcc  34461  signstfvn  34536  reprsuc  34582  breprexplemc  34599  lpadlen2  34648  revwlk  35097  bcm1nt  35709  itg2addnclem  37650  ftc1cnnclem  37670  ftc1anc  37680  caushft  37740  fzsplitnd  41955  lcmfunnnd  41985  lcmineqlem4  42005  lcmineqlem23  42024  intlewftc  42034  dvle2  42045  primrootsunit1  42070  aks6d1c5lem3  42110  aks6d1c5lem2  42111  sticksstones10  42128  sticksstones12a  42130  sticksstones16  42135  unitscyglem5  42172  nicomachus  42285  fltnltalem  42635  pellexlem6  42807  rmspecfund  42882  rmyluc  42910  jm2.18  42961  jm2.25  42972  hbtlem4  43099  bccm1k  44315  binomcxplemwb  44321  binomcxplemnotnn0  44329  oddfl  45260  zltlesub  45267  fzisoeu  45282  fperiodmul  45286  fzdifsuc2  45292  iccshift  45500  iooshift  45504  fmul01lt1lem2  45567  limcperiod  45610  sumnnodd  45612  cncfperiod  45861  fperdvper  45901  dvbdfbdioolem2  45911  dvnmul  45925  itgsinexp  45937  itgperiod  45963  stoweidlem11  45993  stoweidlem14  45996  stoweidlem26  46008  stoweidlem34  46016  wallispilem5  46051  stirlinglem5  46060  stirlinglem11  46066  stirlinglem12  46067  dirkercncflem1  46085  fourierdlem11  46100  fourierdlem15  46104  fourierdlem26  46115  fourierdlem41  46130  fourierdlem42  46131  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem63  46151  fourierdlem64  46152  fourierdlem65  46153  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem79  46167  fourierdlem81  46169  fourierdlem84  46172  fourierdlem88  46176  fourierdlem90  46178  fourierdlem92  46180  fourierdlem95  46183  fourierdlem97  46185  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem109  46197  fourierdlem111  46199  fourierswlem  46212  fouriersw  46213  elaa2lem  46215  etransclem23  46239  etransclem24  46240  etransclem28  46244  etransclem38  46254  smfmullem1  46773  m1modmmod  47343  fargshiftfo  47427  lighneallem3  47592  nnsum4primeseven  47785  nnsum4primesevenALTV  47786  bgoldbtbndlem4  47793  bgoldbtbnd  47794  gpgedgvtx1  48037  dignn0flhalflem1  48588  affineid  48677  eenglngeehlnmlem1  48710  itsclquadb  48749