Theorem npcand 10738

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 10632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275   − cmin 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608

This theorem is referenced by:  addlsub  10791  npcan1  10800  ltsubadd  10845  lesubadd  10847  lesub1  10869  lincmb01cmp  12632  expaddzlem  13221  bcpasc  13426  bcn2m1  13429  ccatpfx  13810  swrdccatwrdOLD  13830  cshwidxmod  13954  repswcshw  13963  swrds2m  14092  shftuz  14216  o1dif  14768  arisum2  14997  ntrivcvg  15032  ntrivcvgtail  15035  prodrblem  15062  fprodser  15082  fprodm1  15100  risefacval2  15143  fallfacval2  15144  fallfacfwd  15169  binomfallfaclem2  15173  sin01bnd  15317  moddvds  15398  dvdsexp  15456  bitscmp  15566  hashdvds  15884  vdwlem5  16093  vdwlem6  16094  vdwlem8  16096  srgbinomlem4  18930  uniioombllem3  23789  i1faddlem  23897  itg1addlem4  23903  dvcnp2  24120  ftc1lem4  24239  dgrcolem2  24467  plydivlem4  24488  aaliou3lem8  24537  dvtaylp  24561  dvntaylp0  24563  taylthlem1  24564  efif1olem4  24729  tanarg  24802  quart1  25034  dmgmaddnn0  25205  lgamgulm2  25214  gamfac  25245  basellem9  25267  chtublem  25388  logexprlim  25402  dchrptlem1  25441  lgsquadlem1  25557  mudivsum  25671  logsqvma  25683  log2sumbnd  25685  selberglem2  25687  pntrlog2bndlem5  25722  pntlem3  25750  ostth2lem2  25775  brbtwn2  26254  cusgrsize2inds  26801  clwlkclwwlklem2  27380  clwwisshclwws  27404  clwwlkel  27437  clwwlkfOLD  27438  clwwlkf  27443  clwwlknonex2lem1  27509  2clwwlk2clwwlk  27761  2clwwlk2clwwlkOLD  27762  numclwwlk2  27813  fzspl  30114  fzsplit3  30117  bcm1n  30118  omndmul3  30275  psgnfzto1stlem  30448  ballotlemfc0  31153  ballotlemfcc  31154  signstfvn  31246  reprsuc  31295  breprexplemc  31312  bcm1nt  32217  itg2addnclem  34086  ftc1cnnclem  34108  ftc1anc  34118  caushft  34181  pellexlem6  38358  rmspecfund  38433  rmyluc  38461  jm2.18  38514  jm2.25  38525  hbtlem4  38655  bccm1k  39497  binomcxplemwb  39503  binomcxplemnotnn0  39511  oddfl  40399  zltlesub  40407  fzisoeu  40423  fperiodmul  40427  fzdifsuc2  40433  iccshift  40653  iooshift  40657  fmul01lt1lem2  40725  limcperiod  40768  sumnnodd  40770  cncfperiod  41020  fperdvper  41061  dvbdfbdioolem2  41072  dvnmul  41086  itgsinexp  41098  itgperiod  41124  stoweidlem11  41155  stoweidlem14  41158  stoweidlem26  41170  stoweidlem34  41178  wallispilem5  41213  stirlinglem5  41222  stirlinglem11  41228  stirlinglem12  41229  dirkercncflem1  41247  fourierdlem11  41262  fourierdlem15  41266  fourierdlem26  41277  fourierdlem41  41292  fourierdlem42  41293  fourierdlem48  41298  fourierdlem49  41299  fourierdlem63  41313  fourierdlem64  41314  fourierdlem65  41315  fourierdlem74  41324  fourierdlem75  41325  fourierdlem79  41329  fourierdlem81  41331  fourierdlem84  41334  fourierdlem88  41338  fourierdlem90  41340  fourierdlem92  41342  fourierdlem95  41345  fourierdlem97  41347  fourierdlem103  41353  fourierdlem104  41354  fourierdlem109  41359  fourierdlem111  41361  fourierswlem  41374  fouriersw  41375  elaa2lem  41377  etransclem23  41401  etransclem24  41402  etransclem28  41406  etransclem38  41416  smfmullem1  41925  fargshiftfo  42410  lighneallem3  42545  nnsum4primeseven  42713  nnsum4primesevenALTV  42714  bgoldbtbndlem4  42721  bgoldbtbnd  42722  m1modmmod  43331  dignn0flhalflem1  43424  affineid  43440  eenglngeehlnmlem1  43473  itsclquadb  43512