Theorem npcand 11498

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025   + caddc 11030   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368

This theorem is referenced by:  addlsub  11555  npcan1  11564  ltsubadd  11609  lesubadd  11611  lesub1  11633  lincmb01cmp  13437  expaddzlem  14056  bcpasc  14272  bcn2m1  14275  cshwidxmod  14754  repswcshw  14763  swrds2m  14892  shftuz  15020  o1dif  15581  arisum2  15815  ntrivcvg  15851  ntrivcvgtail  15854  prodrblem  15883  fprodser  15903  fprodm1  15921  risefacval2  15964  fallfacval2  15965  fallfacfwd  15990  binomfallfaclem2  15994  sin01bnd  16141  moddvds  16221  dvdsexp  16286  bitscmp  16396  hashdvds  16734  vdwlem5  16945  vdwlem6  16946  vdwlem8  16948  chnrev  18582  omndmul3  20098  srgbinomlem4  20199  freshmansdream  21562  psdmul  22141  uniioombllem3  25561  i1faddlem  25669  itg1addlem4  25675  dvcnp2  25896  ftc1lem4  26018  dgrcolem2  26251  plydivlem4  26275  aaliou3lem8  26324  dvtaylp  26349  dvntaylp0  26351  taylthlem1  26352  efif1olem4  26525  tanarg  26599  quart1  26837  dmgmaddnn0  27008  lgamgulm2  27017  gamfac  27048  basellem9  27070  chtublem  27193  logexprlim  27207  dchrptlem1  27246  lgsquadlem1  27362  mudivsum  27512  logsqvma  27524  log2sumbnd  27526  selberglem2  27528  pntrlog2bndlem5  27563  pntlem3  27591  ostth2lem2  27616  brbtwn2  28993  cusgrsize2inds  29542  clwlkclwwlklem2  30090  clwwisshclwws  30105  clwwlkel  30136  clwwlkf  30137  clwwlknonex2lem1  30197  2clwwlk2clwwlk  30440  numclwwlk2  30471  fzspl  32882  fzsplit3  32886  bcm1n  32888  oexpled  32940  wrdt2ind  33033  swrdrn3  33035  psgnfzto1stlem  33181  cycpmco2lem5  33211  cycpmco2lem6  33212  esplyfvn  33741  vietalem  33743  ballotlemfc0  34658  ballotlemfcc  34659  signstfvn  34734  reprsuc  34780  breprexplemc  34797  lpadlen2  34846  revwlk  35328  bcm1nt  35940  itg2addnclem  38003  ftc1cnnclem  38023  ftc1anc  38033  caushft  38093  fzsplitnd  42432  lcmfunnnd  42462  lcmineqlem4  42482  lcmineqlem23  42501  intlewftc  42511  dvle2  42522  primrootsunit1  42547  aks6d1c5lem3  42587  aks6d1c5lem2  42588  sticksstones10  42605  sticksstones12a  42607  sticksstones16  42612  unitscyglem5  42649  nicomachus  42755  fltnltalem  43106  pellexlem6  43277  rmspecfund  43352  rmyluc  43380  jm2.18  43431  jm2.25  43442  hbtlem4  43569  bccm1k  44784  binomcxplemwb  44790  binomcxplemnotnn0  44798  oddfl  45726  zltlesub  45733  fzisoeu  45748  fperiodmul  45752  fzdifsuc2  45758  iccshift  45963  iooshift  45967  fmul01lt1lem2  46030  limcperiod  46073  sumnnodd  46075  cncfperiod  46322  fperdvper  46362  dvbdfbdioolem2  46372  dvnmul  46386  itgsinexp  46398  itgperiod  46424  stoweidlem11  46454  stoweidlem14  46457  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  wallispilem5  46512  stirlinglem5  46521  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  dirkercncflem1  46546  fourierdlem11  46561  fourierdlem15  46565  fourierdlem26  46576  fourierdlem41  46591  fourierdlem42  46592  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem63  46612  fourierdlem64  46613  fourierdlem65  46614  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem79  46628  fourierdlem81  46630  fourierdlem84  46633  fourierdlem88  46637  fourierdlem90  46639  fourierdlem92  46641  fourierdlem95  46644  fourierdlem97  46646  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem109  46658  fourierdlem111  46660  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  elaa2lem  46676  etransclem23  46700  etransclem24  46701  etransclem28  46705  etransclem38  46715  smfmullem1  47234  m1modmmod  47809  fargshiftfo  47899  lighneallem3  48067  nnsum4primeseven  48273  nnsum4primesevenALTV  48274  bgoldbtbndlem4  48281  bgoldbtbnd  48282  gpgedgvtx1  48535  dignn0flhalflem1  49088  affineid  49177  eenglngeehlnmlem1  49210  itsclquadb  49249