Theorem npcand 11537

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  addlsub  11594  npcan1  11603  ltsubadd  11648  lesubadd  11650  lesub1  11672  lincmb01cmp  13456  expaddzlem  14070  bcpasc  14286  bcn2m1  14289  cshwidxmod  14768  repswcshw  14777  swrds2m  14907  shftuz  15035  o1dif  15596  arisum2  15827  ntrivcvg  15863  ntrivcvgtail  15866  prodrblem  15895  fprodser  15915  fprodm1  15933  risefacval2  15976  fallfacval2  15977  fallfacfwd  16002  binomfallfaclem2  16006  sin01bnd  16153  moddvds  16233  dvdsexp  16298  bitscmp  16408  hashdvds  16745  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  vdwlem8  16959  srgbinomlem4  20138  freshmansdream  21484  psdmul  22053  uniioombllem3  25486  i1faddlem  25594  itg1addlem4  25600  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  ftc1lem4  25946  dgrcolem2  26180  plydivlem4  26204  aaliou3lem8  26253  dvtaylp  26278  dvntaylp0  26280  taylthlem1  26281  efif1olem4  26454  tanarg  26528  quart1  26766  dmgmaddnn0  26937  lgamgulm2  26946  gamfac  26977  basellem9  26999  chtublem  27122  logexprlim  27136  dchrptlem1  27175  lgsquadlem1  27291  mudivsum  27441  logsqvma  27453  log2sumbnd  27455  selberglem2  27457  pntrlog2bndlem5  27492  pntlem3  27520  ostth2lem2  27545  brbtwn2  28832  cusgrsize2inds  29381  clwlkclwwlklem2  29929  clwwisshclwws  29944  clwwlkel  29975  clwwlkf  29976  clwwlknonex2lem1  30036  2clwwlk2clwwlk  30279  numclwwlk2  30310  fzspl  32712  fzsplit3  32716  bcm1n  32718  oexpled  32772  wrdt2ind  32875  swrdrn3  32877  omndmul3  33027  psgnfzto1stlem  33057  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  signstfvn  34560  reprsuc  34606  breprexplemc  34623  lpadlen2  34672  revwlk  35112  bcm1nt  35724  itg2addnclem  37665  ftc1cnnclem  37685  ftc1anc  37695  caushft  37755  fzsplitnd  41970  lcmfunnnd  42000  lcmineqlem4  42020  lcmineqlem23  42039  intlewftc  42049  dvle2  42060  primrootsunit1  42085  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones16  42150  unitscyglem5  42187  nicomachus  42300  fltnltalem  42650  pellexlem6  42822  rmspecfund  42897  rmyluc  42926  jm2.18  42977  jm2.25  42988  hbtlem4  43115  bccm1k  44331  binomcxplemwb  44337  binomcxplemnotnn0  44345  oddfl  45276  zltlesub  45283  fzisoeu  45298  fperiodmul  45302  fzdifsuc2  45308  iccshift  45516  iooshift  45520  fmul01lt1lem2  45583  limcperiod  45626  sumnnodd  45628  cncfperiod  45877  fperdvper  45917  dvbdfbdioolem2  45927  dvnmul  45941  itgsinexp  45953  itgperiod  45979  stoweidlem11  46009  stoweidlem14  46012  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  wallispilem5  46067  stirlinglem5  46076  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  dirkercncflem1  46101  fourierdlem11  46116  fourierdlem15  46120  fourierdlem26  46131  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem63  46167  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem79  46183  fourierdlem81  46185  fourierdlem84  46188  fourierdlem88  46192  fourierdlem90  46194  fourierdlem92  46196  fourierdlem95  46199  fourierdlem97  46201  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem109  46213  fourierdlem111  46215  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  elaa2lem  46231  etransclem23  46255  etransclem24  46256  etransclem28  46260  etransclem38  46270  smfmullem1  46789  m1modmmod  47359  fargshiftfo  47443  lighneallem3  47608  nnsum4primeseven  47801  nnsum4primesevenALTV  47802  bgoldbtbndlem4  47809  bgoldbtbnd  47810  gpgedgvtx1  48053  dignn0flhalflem1  48604  affineid  48693  eenglngeehlnmlem1  48726  itsclquadb  48765