Theorem npcand 11596

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11466

This theorem is referenced by:  addlsub  11651  npcan1  11660  ltsubadd  11705  lesubadd  11707  lesub1  11729  lincmb01cmp  13510  expaddzlem  14121  bcpasc  14337  bcn2m1  14340  cshwidxmod  14819  repswcshw  14828  swrds2m  14958  shftuz  15086  o1dif  15644  arisum2  15875  ntrivcvg  15911  ntrivcvgtail  15914  prodrblem  15943  fprodser  15963  fprodm1  15981  risefacval2  16024  fallfacval2  16025  fallfacfwd  16050  binomfallfaclem2  16054  sin01bnd  16201  moddvds  16281  dvdsexp  16345  bitscmp  16455  hashdvds  16792  vdwlem5  17003  vdwlem6  17004  vdwlem8  17006  srgbinomlem4  20187  freshmansdream  21533  psdmul  22102  uniioombllem3  25536  i1faddlem  25644  itg1addlem4  25650  dvcnp2  25871  dvcnp2OLD  25872  ftc1lem4  25996  dgrcolem2  26230  plydivlem4  26254  aaliou3lem8  26303  dvtaylp  26328  dvntaylp0  26330  taylthlem1  26331  efif1olem4  26504  tanarg  26578  quart1  26816  dmgmaddnn0  26987  lgamgulm2  26996  gamfac  27027  basellem9  27049  chtublem  27172  logexprlim  27186  dchrptlem1  27225  lgsquadlem1  27341  mudivsum  27491  logsqvma  27503  log2sumbnd  27505  selberglem2  27507  pntrlog2bndlem5  27542  pntlem3  27570  ostth2lem2  27595  brbtwn2  28830  cusgrsize2inds  29379  clwlkclwwlklem2  29927  clwwisshclwws  29942  clwwlkel  29973  clwwlkf  29974  clwwlknonex2lem1  30034  2clwwlk2clwwlk  30277  numclwwlk2  30308  fzspl  32712  fzsplit3  32716  bcm1n  32718  oexpled  32772  wrdt2ind  32875  swrdrn3  32877  omndmul3  33027  psgnfzto1stlem  33057  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  ballotlemfc0  34471  ballotlemfcc  34472  signstfvn  34547  reprsuc  34593  breprexplemc  34610  lpadlen2  34659  revwlk  35093  bcm1nt  35700  itg2addnclem  37641  ftc1cnnclem  37661  ftc1anc  37671  caushft  37731  fzsplitnd  41941  lcmfunnnd  41971  lcmineqlem4  41991  lcmineqlem23  42010  intlewftc  42020  dvle2  42031  primrootsunit1  42056  aks6d1c5lem3  42096  aks6d1c5lem2  42097  sticksstones10  42114  sticksstones12a  42116  sticksstones16  42121  unitscyglem5  42158  metakunt8  42171  nicomachus  42308  fltnltalem  42632  pellexlem6  42804  rmspecfund  42879  rmyluc  42908  jm2.18  42959  jm2.25  42970  hbtlem4  43097  bccm1k  44314  binomcxplemwb  44320  binomcxplemnotnn0  44328  oddfl  45254  zltlesub  45262  fzisoeu  45277  fperiodmul  45281  fzdifsuc2  45287  iccshift  45495  iooshift  45499  fmul01lt1lem2  45562  limcperiod  45605  sumnnodd  45607  cncfperiod  45856  fperdvper  45896  dvbdfbdioolem2  45906  dvnmul  45920  itgsinexp  45932  itgperiod  45958  stoweidlem11  45988  stoweidlem14  45991  stoweidlem26  46003  stoweidlem34  46011  wallispilem5  46046  stirlinglem5  46055  stirlinglem11  46061  stirlinglem12  46062  dirkercncflem1  46080  fourierdlem11  46095  fourierdlem15  46099  fourierdlem26  46110  fourierdlem41  46125  fourierdlem42  46126  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem63  46146  fourierdlem64  46147  fourierdlem65  46148  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem79  46162  fourierdlem81  46164  fourierdlem84  46167  fourierdlem88  46171  fourierdlem90  46173  fourierdlem92  46175  fourierdlem95  46178  fourierdlem97  46180  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem109  46192  fourierdlem111  46194  fourierswlem  46207  fouriersw  46208  elaa2lem  46210  etransclem23  46234  etransclem24  46235  etransclem28  46239  etransclem38  46249  smfmullem1  46768  fargshiftfo  47404  lighneallem3  47569  nnsum4primeseven  47762  nnsum4primesevenALTV  47763  bgoldbtbndlem4  47770  bgoldbtbnd  47771  gpgedgvtx1  48014  m1modmmod  48449  dignn0flhalflem1  48543  affineid  48632  eenglngeehlnmlem1  48665  itsclquadb  48704