Theorem npcand 11544

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  addlsub  11601  npcan1  11610  ltsubadd  11655  lesubadd  11657  lesub1  11679  lincmb01cmp  13463  expaddzlem  14077  bcpasc  14293  bcn2m1  14296  cshwidxmod  14775  repswcshw  14784  swrds2m  14914  shftuz  15042  o1dif  15603  arisum2  15834  ntrivcvg  15870  ntrivcvgtail  15873  prodrblem  15902  fprodser  15922  fprodm1  15940  risefacval2  15983  fallfacval2  15984  fallfacfwd  16009  binomfallfaclem2  16013  sin01bnd  16160  moddvds  16240  dvdsexp  16305  bitscmp  16415  hashdvds  16752  vdwlem5  16963  vdwlem6  16964  vdwlem8  16966  srgbinomlem4  20145  freshmansdream  21491  psdmul  22060  uniioombllem3  25493  i1faddlem  25601  itg1addlem4  25607  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  ftc1lem4  25953  dgrcolem2  26187  plydivlem4  26211  aaliou3lem8  26260  dvtaylp  26285  dvntaylp0  26287  taylthlem1  26288  efif1olem4  26461  tanarg  26535  quart1  26773  dmgmaddnn0  26944  lgamgulm2  26953  gamfac  26984  basellem9  27006  chtublem  27129  logexprlim  27143  dchrptlem1  27182  lgsquadlem1  27298  mudivsum  27448  logsqvma  27460  log2sumbnd  27462  selberglem2  27464  pntrlog2bndlem5  27499  pntlem3  27527  ostth2lem2  27552  brbtwn2  28839  cusgrsize2inds  29388  clwlkclwwlklem2  29936  clwwisshclwws  29951  clwwlkel  29982  clwwlkf  29983  clwwlknonex2lem1  30043  2clwwlk2clwwlk  30286  numclwwlk2  30317  fzspl  32719  fzsplit3  32723  bcm1n  32725  oexpled  32779  wrdt2ind  32882  swrdrn3  32884  omndmul3  33034  psgnfzto1stlem  33064  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem6  33095  ballotlemfc0  34491  ballotlemfcc  34492  signstfvn  34567  reprsuc  34613  breprexplemc  34630  lpadlen2  34679  revwlk  35119  bcm1nt  35731  itg2addnclem  37672  ftc1cnnclem  37692  ftc1anc  37702  caushft  37762  fzsplitnd  41977  lcmfunnnd  42007  lcmineqlem4  42027  lcmineqlem23  42046  intlewftc  42056  dvle2  42067  primrootsunit1  42092  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sticksstones16  42157  unitscyglem5  42194  nicomachus  42307  fltnltalem  42657  pellexlem6  42829  rmspecfund  42904  rmyluc  42933  jm2.18  42984  jm2.25  42995  hbtlem4  43122  bccm1k  44338  binomcxplemwb  44344  binomcxplemnotnn0  44352  oddfl  45283  zltlesub  45290  fzisoeu  45305  fperiodmul  45309  fzdifsuc2  45315  iccshift  45523  iooshift  45527  fmul01lt1lem2  45590  limcperiod  45633  sumnnodd  45635  cncfperiod  45884  fperdvper  45924  dvbdfbdioolem2  45934  dvnmul  45948  itgsinexp  45960  itgperiod  45986  stoweidlem11  46016  stoweidlem14  46019  stoweidlem26  46031  stoweidlem34  46039  wallispilem5  46074  stirlinglem5  46083  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  dirkercncflem1  46108  fourierdlem11  46123  fourierdlem15  46127  fourierdlem26  46138  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem63  46174  fourierdlem64  46175  fourierdlem65  46176  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem79  46190  fourierdlem81  46192  fourierdlem84  46195  fourierdlem88  46199  fourierdlem90  46201  fourierdlem92  46203  fourierdlem95  46206  fourierdlem97  46208  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem109  46220  fourierdlem111  46222  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  elaa2lem  46238  etransclem23  46262  etransclem24  46263  etransclem28  46267  etransclem38  46277  smfmullem1  46796  m1modmmod  47363  fargshiftfo  47447  lighneallem3  47612  nnsum4primeseven  47805  nnsum4primesevenALTV  47806  bgoldbtbndlem4  47813  bgoldbtbnd  47814  gpgedgvtx1  48057  dignn0flhalflem1  48608  affineid  48697  eenglngeehlnmlem1  48730  itsclquadb  48769