Theorem npcand 11575

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  addlsub  11630  npcan1  11639  ltsubadd  11684  lesubadd  11686  lesub1  11708  lincmb01cmp  13472  expaddzlem  14071  bcpasc  14281  bcn2m1  14284  cshwidxmod  14753  repswcshw  14762  swrds2m  14892  shftuz  15016  o1dif  15574  arisum2  15807  ntrivcvg  15843  ntrivcvgtail  15846  prodrblem  15873  fprodser  15893  fprodm1  15911  risefacval2  15954  fallfacval2  15955  fallfacfwd  15980  binomfallfaclem2  15984  sin01bnd  16128  moddvds  16208  dvdsexp  16271  bitscmp  16379  hashdvds  16708  vdwlem5  16918  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  srgbinomlem4  20052  uniioombllem3  25102  i1faddlem  25210  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  dvcnp2  25437  ftc1lem4  25556  dgrcolem2  25788  plydivlem4  25809  aaliou3lem8  25858  dvtaylp  25882  dvntaylp0  25884  taylthlem1  25885  efif1olem4  26054  tanarg  26127  quart1  26361  dmgmaddnn0  26531  lgamgulm2  26540  gamfac  26571  basellem9  26593  chtublem  26714  logexprlim  26728  dchrptlem1  26767  lgsquadlem1  26883  mudivsum  27033  logsqvma  27045  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  pntrlog2bndlem5  27084  pntlem3  27112  ostth2lem2  27137  brbtwn2  28163  cusgrsize2inds  28710  clwlkclwwlklem2  29253  clwwisshclwws  29268  clwwlkel  29299  clwwlkf  29300  clwwlknonex2lem1  29360  2clwwlk2clwwlk  29603  numclwwlk2  29634  fzspl  32001  fzsplit3  32005  bcm1n  32006  wrdt2ind  32117  swrdrn3  32119  omndmul3  32231  psgnfzto1stlem  32259  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  freshmansdream  32381  ballotlemfc0  33491  ballotlemfcc  33492  signstfvn  33580  reprsuc  33627  breprexplemc  33644  lpadlen2  33693  revwlk  34115  bcm1nt  34707  gg-dvcnp2  35174  itg2addnclem  36539  ftc1cnnclem  36559  ftc1anc  36569  caushft  36629  fzsplitnd  40848  lcmfunnnd  40877  lcmineqlem4  40897  lcmineqlem23  40916  intlewftc  40926  dvle2  40937  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones16  40978  metakunt8  40992  nicomachus  41210  fltnltalem  41404  pellexlem6  41572  rmspecfund  41647  rmyluc  41676  jm2.18  41727  jm2.25  41738  hbtlem4  41868  bccm1k  43101  binomcxplemwb  43107  binomcxplemnotnn0  43115  oddfl  43987  zltlesub  43995  fzisoeu  44010  fperiodmul  44014  fzdifsuc2  44020  iccshift  44231  iooshift  44235  fmul01lt1lem2  44301  limcperiod  44344  sumnnodd  44346  cncfperiod  44595  fperdvper  44635  dvbdfbdioolem2  44645  dvnmul  44659  itgsinexp  44671  itgperiod  44697  stoweidlem11  44727  stoweidlem14  44730  stoweidlem26  44742  stoweidlem34  44750  wallispilem5  44785  stirlinglem5  44794  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  dirkercncflem1  44819  fourierdlem11  44834  fourierdlem15  44838  fourierdlem26  44849  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem63  44885  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem79  44901  fourierdlem81  44903  fourierdlem84  44906  fourierdlem88  44910  fourierdlem90  44912  fourierdlem92  44914  fourierdlem95  44917  fourierdlem97  44919  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem109  44931  fourierdlem111  44933  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  elaa2lem  44949  etransclem23  44973  etransclem24  44974  etransclem28  44978  etransclem38  44988  smfmullem1  45507  fargshiftfo  46110  lighneallem3  46275  nnsum4primeseven  46468  nnsum4primesevenALTV  46469  bgoldbtbndlem4  46476  bgoldbtbnd  46477  m1modmmod  47207  dignn0flhalflem1  47301  affineid  47390  eenglngeehlnmlem1  47423  itsclquadb  47462