Theorem npcand 11579

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   + caddc 11109   − cmin 11447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449

This theorem is used by:  addlsub  11636  npcan1  11645  ltsubadd  11690  lesubadd  11692  lesub1  11714  lincmb01cmp  13528  expaddzlem  14148  bcpasc  14364  bcn2m1  14367  cshwidxmod  14847  repswcshw  14856  swrds2m  14985  shftuz  15113  o1dif  15688  arisum2  15922  ntrivcvg  15958  ntrivcvgtail  15961  prodrblem  15990  fprodser  16010  fprodm1  16028  risefacval2  16071  fallfacval2  16072  fallfacfwd  16096  binomfallfaclem2  16100  sin01bnd  16247  moddvds  16327  dvdsexp  16392  bitscmp  16502  hashdvds  16840  vdwlem5  17051  vdwlem6  17052  vdwlem8  17054  chnrev  18689  omndmul3  20210  srgbinomlem4  20317  freshmansdream  21735  psdmul  22340  uniioombllem3  25755  i1faddlem  25863  itg1addlem4  25869  dvcnp2  26090  ftc1lem4  26209  dgrcolem2  26442  plydivlem4  26468  aaliou3lem8  26519  dvtaylp  26544  dvntaylp0  26546  taylthlem1  26547  efif1olem4  26721  tanarg  26795  quart1  27032  dmgmaddnn0  27202  lgamgulm2  27211  gamfac  27242  basellem9  27264  chtublem  27386  logexprlim  27400  dchrptlem1  27439  lgsquadlem1  27555  mudivsum  27705  logsqvma  27717  log2sumbnd  27719  selberglem2  27721  pntrlog2bndlem5  27756  pntlem3  27784  ostth2lem2  27809  brbtwn2  29266  cusgrsize2inds  29814  clwlkclwwlklem2  30362  clwwisshclwws  30377  clwwlkel  30408  clwwlkf  30409  clwwlknonex2lem1  30469  2clwwlk2clwwlk  30712  numclwwlk2  30743  fzspl  33145  fzsplit3  33149  bcm1n  33151  oexpled  33191  wrdt2ind  33282  swrdrn3  33284  psgnfzto1stlem  33429  cycpmco2lem5  33459  cycpmco2lem6  33460  esplyfvn  33976  vietalem  33978  ballotlemfc0  34892  ballotlemfcc  34893  signstfvn  34965  reprsuc  35011  breprexplemc  35028  lpadlen2  35080  revwlk  35625  bcm1nt  36237  itg2addnclem  38350  ftc1cnnclem  38370  ftc1anc  38380  caushft  38440  fzsplitnd  42777  lcmfunnnd  42807  lcmineqlem4  42827  lcmineqlem23  42846  intlewftc  42856  dvle2  42867  primrootsunit1  42892  aks6d1c5lem3  42932  aks6d1c5lem2  42933  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  sticksstones16  42957  unitscyglem5  42994  nicomachus  43101  fltnltalem  43422  pellexlem6  43589  rmspecfund  43664  rmyluc  43692  jm2.18  43743  jm2.25  43754  hbtlem4  43881  bccm1k  45080  binomcxplemwb  45086  binomcxplemnotnn0  45094  oddfl  46025  zltlesub  46032  fzisoeu  46047  fperiodmul  46051  fzdifsuc2  46057  iccshift  46262  iooshift  46266  fmul01lt1lem2  46329  limcperiod  46372  sumnnodd  46374  cncfperiod  46621  fperdvper  46661  dvbdfbdioolem2  46671  dvnmul  46685  itgsinexp  46697  itgperiod  46723  stoweidlem11  46753  stoweidlem14  46756  stoweidlem26  46768  stoweidlem34  46776  wallispilem5  46811  stirlinglem5  46820  stirlinglem11  46826  stirlinglem12  46827  dirkercncflem1  46845  fourierdlem11  46860  fourierdlem15  46864  fourierdlem26  46875  fourierdlem41  46890  fourierdlem42  46891  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem63  46911  fourierdlem64  46912  fourierdlem65  46913  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem79  46927  fourierdlem81  46929  fourierdlem84  46932  fourierdlem88  46936  fourierdlem90  46938  fourierdlem92  46940  fourierdlem95  46943  fourierdlem97  46945  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem109  46957  fourierdlem111  46959  fourierswlem  46972  fouriersw  46973  elaa2lem  46975  etransclem23  46999  etransclem24  47000  etransclem28  47004  etransclem38  47014  smfmullem1  47533  m1modmmod  48129  fargshiftfo  48219  lighneallem3  48387  nnsum4primeseven  48593  nnsum4primesevenALTV  48594  bgoldbtbndlem4  48601  bgoldbtbnd  48602  gpgedgvtx1  48855  dignn0flhalflem1  49423  affineid  49512  eenglngeehlnmlem1  49545  itsclquadb  49584