Theorem npcand 11651

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 11545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  addlsub  11706  npcan1  11715  ltsubadd  11760  lesubadd  11762  lesub1  11784  lincmb01cmp  13555  expaddzlem  14156  bcpasc  14370  bcn2m1  14373  cshwidxmod  14851  repswcshw  14860  swrds2m  14990  shftuz  15118  o1dif  15676  arisum2  15909  ntrivcvg  15945  ntrivcvgtail  15948  prodrblem  15977  fprodser  15997  fprodm1  16015  risefacval2  16058  fallfacval2  16059  fallfacfwd  16084  binomfallfaclem2  16088  sin01bnd  16233  moddvds  16313  dvdsexp  16376  bitscmp  16484  hashdvds  16822  vdwlem5  17032  vdwlem6  17033  vdwlem8  17035  srgbinomlem4  20256  freshmansdream  21616  psdmul  22193  uniioombllem3  25639  i1faddlem  25747  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  ftc1lem4  26100  dgrcolem2  26334  plydivlem4  26356  aaliou3lem8  26405  dvtaylp  26430  dvntaylp0  26432  taylthlem1  26433  efif1olem4  26605  tanarg  26679  quart1  26917  dmgmaddnn0  27088  lgamgulm2  27097  gamfac  27128  basellem9  27150  chtublem  27273  logexprlim  27287  dchrptlem1  27326  lgsquadlem1  27442  mudivsum  27592  logsqvma  27604  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  pntrlog2bndlem5  27643  pntlem3  27671  ostth2lem2  27696  brbtwn2  28938  cusgrsize2inds  29489  clwlkclwwlklem2  30032  clwwisshclwws  30047  clwwlkel  30078  clwwlkf  30079  clwwlknonex2lem1  30139  2clwwlk2clwwlk  30382  numclwwlk2  30413  fzspl  32795  fzsplit3  32799  bcm1n  32800  wrdt2ind  32920  swrdrn3  32922  omndmul3  33063  psgnfzto1stlem  33093  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  signstfvn  34546  reprsuc  34592  breprexplemc  34609  lpadlen2  34658  revwlk  35092  bcm1nt  35699  itg2addnclem  37631  ftc1cnnclem  37651  ftc1anc  37661  caushft  37721  fzsplitnd  41939  lcmfunnnd  41969  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem23  42008  intlewftc  42018  dvle2  42029  primrootsunit1  42054  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones16  42119  unitscyglem5  42156  metakunt8  42169  nicomachus  42300  fltnltalem  42617  pellexlem6  42790  rmspecfund  42865  rmyluc  42894  jm2.18  42945  jm2.25  42956  hbtlem4  43083  bccm1k  44311  binomcxplemwb  44317  binomcxplemnotnn0  44325  oddfl  45192  zltlesub  45200  fzisoeu  45215  fperiodmul  45219  fzdifsuc2  45225  iccshift  45436  iooshift  45440  fmul01lt1lem2  45506  limcperiod  45549  sumnnodd  45551  cncfperiod  45800  fperdvper  45840  dvbdfbdioolem2  45850  dvnmul  45864  itgsinexp  45876  itgperiod  45902  stoweidlem11  45932  stoweidlem14  45935  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  wallispilem5  45990  stirlinglem5  45999  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  dirkercncflem1  46024  fourierdlem11  46039  fourierdlem15  46043  fourierdlem26  46054  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem79  46106  fourierdlem81  46108  fourierdlem84  46111  fourierdlem88  46115  fourierdlem90  46117  fourierdlem92  46119  fourierdlem95  46122  fourierdlem97  46124  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem109  46136  fourierdlem111  46138  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  elaa2lem  46154  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem28  46183  etransclem38  46193  smfmullem1  46712  fargshiftfo  47316  lighneallem3  47481  nnsum4primeseven  47674  nnsum4primesevenALTV  47675  bgoldbtbndlem4  47682  bgoldbtbnd  47683  m1modmmod  48255  dignn0flhalflem1  48349  affineid  48438  eenglngeehlnmlem1  48471  itsclquadb  48510