Theorem 1subrec1sub 48691

Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1subrec1sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
5	4	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
6	1, 2, 5	subne0d 11542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
7	1, 3, 6	divcan4d 11964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) = 1)
8	7	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 = ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)))
9	8	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
10	1, 3	mulcld 11194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10, 1, 3, 6	divsubdird 11997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
12	3	mullidd 11192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
13	12	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = ((1 − 𝐴) − 1))
14		negcl 11421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 2	negsubd 11539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
17	16	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) = (1 + -𝐴))
18	1, 15, 17	mvrladdd 11591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) − 1) = -𝐴)
19	13, 18	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = -𝐴)
20	19	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
21	2, 3, 6	divneg2d 11972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / -(1 − 𝐴)))
22	2, 3, 6	divnegd 11971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
23	1, 2	negsubdi2d 11549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
24	23	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / -(1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
25	21, 22, 24	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	20, 25	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
27	9, 11, 26	3eqtr2d 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  48724