Theorem 1subrec1sub 48805

Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1subrec1sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
5	4	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
6	1, 2, 5	subne0d 11481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
7	1, 3, 6	divcan4d 11903	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) = 1)
8	7	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 = ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)))
9	8	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
10	1, 3	mulcld 11132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10, 1, 3, 6	divsubdird 11936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
12	3	mullidd 11130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
13	12	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = ((1 − 𝐴) − 1))
14		negcl 11360	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 2	negsubd 11478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
17	16	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) = (1 + -𝐴))
18	1, 15, 17	mvrladdd 11530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) − 1) = -𝐴)
19	13, 18	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = -𝐴)
20	19	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
21	2, 3, 6	divneg2d 11911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / -(1 − 𝐴)))
22	2, 3, 6	divnegd 11910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
23	1, 2	negsubdi2d 11488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
24	23	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / -(1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
25	21, 22, 24	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	20, 25	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
27	9, 11, 26	3eqtr2d 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  48838