Theorem 1subrec1sub 49739

Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1subrec1sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11640	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
5	4	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
6	1, 2, 5	subne0d 11650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
7	1, 3, 6	divcan4d 12068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) = 1)
8	7	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 = ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)))
9	8	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
10	1, 3	mulcld 11300	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10, 1, 3, 6	divsubdird 12101	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
12	3	mullidd 11298	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
13	12	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = ((1 − 𝐴) − 1))
14		negcl 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 2	negsubd 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
17	16	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) = (1 + -𝐴))
18	1, 15, 17	mvrladdd 11698	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) − 1) = -𝐴)
19	13, 18	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = -𝐴)
20	19	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
21	2, 3, 6	divneg2d 12076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / -(1 − 𝐴)))
22	2, 3, 6	divnegd 12075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
23	1, 2	negsubdi2d 11656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
24	23	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / -(1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
25	21, 22, 24	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	20, 25	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
27	9, 11, 26	3eqtr2d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176   − cmin 11512  -cneg 11513   / cdiv 11942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943

This theorem is used by:  eenglngeehlnmlem2  49772