Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1subrec1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1subrec1sub 45632
Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
1subrec1sub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub
StepHypRef Expression
1 1cnd 10726 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
2 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11087 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
54necomd 2990 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
61, 2, 5subne0d 11096 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
71, 3, 6divcan4d 11512 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) = 1)
87eqcomd 2745 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 = ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)))
98oveq1d 7197 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
101, 3mulcld 10751 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 3, 6divsubdird 11545 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
123mulid2d 10749 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
1312oveq1d 7197 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = ((1 − 𝐴) − 1))
14 negcl 10976 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -𝐴 ∈ ℂ)
161, 2negsubd 11093 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
1716eqcomd 2745 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) = (1 + -𝐴))
181, 15, 17mvrladdd 11143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) − 1) = -𝐴)
1913, 18eqtrd 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = -𝐴)
2019oveq1d 7197 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
212, 3, 6divneg2d 11520 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / -(1 − 𝐴)))
222, 3, 6divnegd 11519 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
231, 2negsubdi2d 11103 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
2423oveq2d 7198 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / -(1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
2521, 22, 243eqtr3d 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
2620, 25eqtrd 2774 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
279, 11, 263eqtr2d 2780 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  (class class class)co 7182  cc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632  cmin 10960  -cneg 10961   / cdiv 11387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  45665
  Copyright terms: Public domain W3C validator