Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1subrec1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1subrec1sub 47889
Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
1subrec1sub ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub
StepHypRef Expression
1 1cnd 11237 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11599 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
54necomd 2986 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
61, 2, 5subne0d 11608 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
71, 3, 6divcan4d 12024 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = 1)
87eqcomd 2731 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 = ((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
98oveq1d 7430 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
101, 3mulcld 11262 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1110, 1, 3, 6divsubdird 12057 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 1) / (1 โˆ’ ๐ด)) = (((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
123mullidd 11260 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ ๐ด))
1312oveq1d 7430 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 1) = ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1))
14 negcl 11488 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
161, 2negsubd 11605 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
1716eqcomd 2731 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) = (1 + -๐ด))
181, 15, 17mvrladdd 11655 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) = -๐ด)
1913, 18eqtrd 2765 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 1) = -๐ด)
2019oveq1d 7430 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 1) / (1 โˆ’ ๐ด)) = (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
212, 3, 6divneg2d 12032 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) = (๐ด / -(1 โˆ’ ๐ด)))
222, 3, 6divnegd 12031 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) = (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
231, 2negsubdi2d 11615 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(1 โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ 1))
2423oveq2d 7431 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
2521, 22, 243eqtr3d 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
2620, 25eqtrd 2765 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((1 ยท (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 1) / (1 โˆ’ ๐ด)) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
279, 11, 263eqtr2d 2771 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  47922
  Copyright terms: Public domain W3C validator