Theorem 1subrec1sub 49430

Description: Subtract the reciprocal of 1 minus a number from 1 results in the number divided by the number minus 1. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1subrec1sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem 1subrec1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
2		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
5	4	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
6	1, 2, 5	subne0d 11577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
7	1, 3, 6	divcan4d 11996	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) = 1)
8	7	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 = ((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)))
9	8	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
10	1, 3	mulcld 11228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10, 1, 3, 6	divsubdird 12029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (((1 · (1 − 𝐴)) / (1 − 𝐴)) − (1 / (1 − 𝐴))))
12	3	mullidd 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
13	12	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = ((1 − 𝐴) − 1))
14		negcl 11456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 2	negsubd 11574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
17	16	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) = (1 + -𝐴))
18	1, 15, 17	mvrladdd 11626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) − 1) = -𝐴)
19	13, 18	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 · (1 − 𝐴)) − 1) = -𝐴)
20	19	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
21	2, 3, 6	divneg2d 12004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / -(1 − 𝐴)))
22	2, 3, 6	divnegd 12003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 / (1 − 𝐴)) = (-𝐴 / (1 − 𝐴)))
23	1, 2	negsubdi2d 11584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
24	23	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / -(1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
25	21, 22, 24	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	20, 25	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 · (1 − 𝐴)) − 1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
27	9, 11, 26	3eqtr2d 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − (1 / (1 − 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  49463