Theorem axtco 36712

Description: Axiom of Transitive Containment, derived as a theorem from ax-ext 2713, ax-rep 5201, and ax-inf2 9557. Use ax-tco 36713 instead. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axtco	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axtco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5366	. . 3 ⊢ {𝑥} ∈ V
2	1	tz9.1 9645	. 2 ⊢ ∃𝑦({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
3		vex 3437	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	snss 4718	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑦)
5		dftr3 5186	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦)
6		df-ss 3901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
7	6	ralbii 3087	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
8		df-ral 3056	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
9	5, 7, 8	3bitrri 300	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ Tr 𝑦)
10	4, 9	anbi12i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
11	10	biimpri 230	. . 3 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
12	11	3adant3 1139	. 2 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
13	2, 12	eximii 1845	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093  ∀wal 1546  ∃wex 1787  ∀wral 3055   ⊆ wss 3884  {csn 4557  Tr wtr 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343

This theorem is referenced by: (None)