Theorem axtco 37436

Description: Axiom of Transitive Containment, derived as a theorem from ax-ext 2735, ax-rep 5235, and ax-inf2 9666. Use ax-tco 37437 instead. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axtco	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axtco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5397	. . 3 ⊢ {𝑥} ∈ V
2	1	tz9.1 9754	. 2 ⊢ ∃𝑦({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
3		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑦)
5		dftr3 5220	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦)
6		df-ss 3901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
7	6	ralbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
8		df-ral 3081	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
9	5, 7, 8	3bitrri 301	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ Tr 𝑦)
10	4, 9	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
11	10	biimpri 231	. . 3 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
12	11	3adant3 1150	. 2 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
13	2, 12	eximii 1870	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588  Tr wtr 5215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443

This theorem is used by: (None)