Theorem axtco 36926

Description: Axiom of Transitive Containment, derived as a theorem from ax-ext 2733, ax-rep 5237, and ax-inf2 9609. Use ax-tco 36927 instead. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axtco	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axtco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5406	. . 3 ⊢ {𝑥} ∈ V
2	1	tz9.1 9697	. 2 ⊢ ∃𝑦({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
3		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	snss 4749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑦)
5		dftr3 5222	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦)
6		df-ss 3921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
7	6	ralbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
8		df-ral 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
9	5, 7, 8	3bitrri 301	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ Tr 𝑦)
10	4, 9	anbi12i 639	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
11	10	biimpri 231	. . 3 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
12	11	3adant3 1148	. 2 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
13	2, 12	eximii 1865	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566  ∃wex 1807  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  {csn 4588  Tr wtr 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396

This theorem is referenced by: (None)