Theorem axtco 36836

Description: Axiom of Transitive Containment, derived as a theorem from ax-ext 2736, ax-rep 5229, and ax-inf2 9598. Use ax-tco 36837 instead. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axtco	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axtco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5394	. . 3 ⊢ {𝑥} ∈ V
2	1	tz9.1 9686	. 2 ⊢ ∃𝑦({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
3		vex 3460	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑦)
5		dftr3 5214	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦)
6		df-ss 3923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
7	6	ralbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
8		df-ral 3079	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
9	5, 7, 8	3bitrri 300	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ Tr 𝑦)
10	4, 9	anbi12i 637	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
11	10	biimpri 230	. . 3 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
12	11	3adant3 1146	. 2 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧(({𝑥} ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
13	2, 12	eximii 1859	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099  ∀wal 1560  ∃wex 1801  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  {csn 4584  Tr wtr 5209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383

This theorem is referenced by: (None)