Theorem bj-rveccmod 37561

Description: Real vector spaces are subcomplex modules (elemental version). (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rveccmod	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem bj-rveccmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-rvecmod 37554	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LMod)
2		df-refld 21575	. . 3 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ))
4		resubdrg 21578	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
5	4	simpli 483	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		bj-rvecrr 37556	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
8	7	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → ℝfld = (Scalar‘𝑉))
9		rebase 21576	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → ℝ = (Base‘ℝfld))
11	8, 10	bj-isclm 37550	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (𝑉 ∈ ℂMod ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld))))
12	1, 3, 6, 11	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Scalarcsca 17192  SubRingcsubrg 20517  DivRingcdr 20677  LModclmod 20826  ℂ_fldccnfld 21324  ℝ_fldcrefld 21574  ℂModcclm 25033  ℝ-Veccrrvec 37551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-subg 19068  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-drng 20679  df-cnfld 21325  df-refld 21575  df-clm 25034  df-bj-rvec 37552

This theorem is referenced by:  bj-rvecsscmod  37562