MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  carddom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carddom 10548
Description: Two sets have the dominance relationship iff their cardinalities have the subset relationship. Equation i of [Quine] p. 232. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
carddom ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))

Proof of Theorem carddom
StepHypRef Expression
1 numth3 10464 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ dom card)
2 numth3 10464 . 2 (𝐡 ∈ π‘Š β†’ 𝐡 ∈ dom card)
3 carddom2 9971 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐡 ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
41, 2, 3syl2an 595 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536   β‰Ό cdom 8936  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-ac2 10457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-card 9933  df-ac 10110
This theorem is referenced by:  alephval2  10566
  Copyright terms: Public domain W3C validator