Theorem cdlemg4b12 40516

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg4.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg4b.v	⊢ 𝑉 = (𝑅‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg4b12	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem cdlemg4b12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg4.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemg4.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemg4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdlemg4.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdlemg4.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		cdlemg4.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cdlemg4b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑅‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cdlemg4b2 40515	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cdlemg4b1 40514	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑃 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
10	8, 9	eqtr4d 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  lecple 17313  joincjn 18376  Atomscatm 39167  HLchlt 39254  LHypclh 39889  LTrncltrn 40006  trLctrl 40063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-map 8882  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-p1 18491  df-lat 18497  df-clat 18564  df-oposet 39080  df-ol 39082  df-oml 39083  df-covers 39170  df-ats 39171  df-atl 39202  df-cvlat 39226  df-hlat 39255  df-psubsp 39408  df-pmap 39409  df-padd 39701  df-lhyp 39893  df-laut 39894  df-ldil 40009  df-ltrn 40010  df-trl 40064

This theorem is referenced by:  cdlemg4f  40520