Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4b2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg4b2 39994
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg4b.v 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4b2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cdlemg4b2
StepHypRef Expression
1 cdlemg4b.v . . . 4 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
2 cdlemg4.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemg4.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemg4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemg4.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemg4.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemg4.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8trlval2 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
1093com23 1123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
111, 10eqtrid 2778 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
1211oveq2d 7421 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
13 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
152, 5, 6, 7ltrnel 39523 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
16153com23 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
17 eqid 2726 . . . 4 ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)
182, 3, 4, 5, 6, 17cdleme0cq 39599 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
1913, 14, 16, 18syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
2012, 19eqtrd 2766 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg4b12  39995  cdlemg4c  39996
  Copyright terms: Public domain W3C validator