Theorem chnexg 18712

Description: Chains with a set given for range form a set. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.) (Revised by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( < Chain 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem chnexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 14593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Word 𝐴 ∈ V)
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	chnwrd 18702	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑥 ∈ Word 𝐴)
4	3	ssriv 3938	. . 3 ⊢ ( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴
5	1, 4	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴 ∧ Word 𝐴 ∈ V))
6		ssexg 5288	. 2 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴 ∧ Word 𝐴 ∈ V) → ( < Chain 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( < Chain 𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  Word cword 14582   Chain cchn 18699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-map 8832  df-nn 12262  df-n0 12533  df-word 14583  df-chn 18700

This theorem is used by: (None)