Theorem chnexg 18626

Description: Chains with a set given for range form a set. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.) (Revised by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( < Chain 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem chnexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 14527	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Word 𝐴 ∈ V)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	chnwrd 18616	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑥 ∈ Word 𝐴)
4	3	ssriv 3935	. . 3 ⊢ ( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴
5	1, 4	jctil 526	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴 ∧ Word 𝐴 ∈ V))
6		ssexg 5273	. 2 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ⊆ Word 𝐴 ∧ Word 𝐴 ∈ V) → ( < Chain 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( < Chain 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899  Word cword 14516   Chain cchn 18613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-1cn 11121  ax-addcl 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-map 8798  df-nn 12201  df-n0 12472  df-word 14517  df-chn 18614

This theorem is referenced by: (None)