Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climconst 14962
 Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climconst.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3 (𝜑𝐹𝑉)
climconst.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climconst (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climconst.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12311 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 climconst.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2864 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
6 climconst.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76subidd 11037 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
87fveq2d 6668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
9 abs0 14707 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
108, 9eqtrdi 2810 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
12 rpgt0 12456 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1312adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
1411, 13eqbrtrd 5059 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
1514ralrimivw 3115 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
16 fveq2 6664 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
1716, 4eqtr4di 2812 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
1817raleqdv 3330 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
1918rspcev 3544 . . . 4 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
205, 15, 19syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
2120ralrimiva 3114 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
22 climconst.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
23 climconst.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
246adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
254, 1, 22, 23, 6, 24clim2c 14924 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2621, 25mpbird 260 1 (𝜑𝐹𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  0cc0 10589   < clt 10727   − cmin 10922  ℤcz 12034  ℤ≥cuz 12296  ℝ+crp 12444  abscabs 14655   ⇝ cli 14903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-seq 13433  df-exp 13494  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907 This theorem is referenced by:  climconst2  14967  fsumcvg  15131  expcnv  15281  ntrivcvgfvn0  15317  fprodcvg  15346  fprodntriv  15358  faclim2  33243  clim1fr1  42655  climneg  42664  ioodvbdlimc1lem2  42986  ioodvbdlimc2lem  42988  fourierdlem103  43263  fourierdlem104  43264  etransclem48  43336
 Copyright terms: Public domain W3C validator