Theorem climconst 15509

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconst.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climconst.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12808	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		climconst.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		climconst.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	subidd 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
8	7	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
9		abs0 15251	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
12		rpgt0 12964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
14	11, 13	eqbrtrd 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
15	14	ralrimivw 3129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
16		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
17	16, 4	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
18	17	raleqdv 3299	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
19	18	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
20	5, 15, 19	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
21	20	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
22		climconst.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23		climconst.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
24	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	4, 1, 22, 23, 6, 24	clim2c 15471	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
26	21, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   < clt 11208   − cmin 11405  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200   ⇝ cli 15450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454

This theorem is referenced by:  climconst2  15514  fsumcvg  15678  expcnv  15830  ntrivcvgfvn0  15865  fprodcvg  15896  fprodntriv  15908  faclim2  35735  clim1fr1  45599  climneg  45608  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  etransclem48  46280