Theorem climsqz 15687

Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climsqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climsqz.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
climsqz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climsqz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz

Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8	1, 3, 4, 5, 7	climi2 15557	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
9	1	uztrn2 12922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10		climsqz.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11		climsqz.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	1, 2, 6, 10	climrecl 15629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		climsqz.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
15	10, 11, 13, 14	lesub2dd 11907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 − (𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐴 − (𝐹‘𝑘)))
16		climsqz.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ 𝐴)
17	11, 13, 16	abssuble0d 15481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) = (𝐴 − (𝐺‘𝑘)))
18	10, 11, 13, 14, 16	letrd 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐴)
19	10, 13, 18	abssuble0d 15481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (𝐴 − (𝐹‘𝑘)))
20	15, 17, 19	3brtr4d 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
21	20	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
22	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
23	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
27	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
28	27, 23	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31		rpre 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		lelttr 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
34	26, 30, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
35	21, 34	mpand 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
36	9, 35	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
37	36	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
38	37	ralimdva 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
39	38	reximdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
40	8, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42		climsqz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
43		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	12	recnd 11318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
45	11	recnd 11318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
46	1, 2, 42, 43, 44, 45	clim2c 15551	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
47	41, 46	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  supcvg  15904  mbfi1fseqlem6  25775  sinccvglem  35640  hashnzfzclim  44291