Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf 44620
Description: A bounded monotonic nonincreasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climinf.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climinf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
climinf.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climinf.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
climinf (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem climinf
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinf.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
21frnd 6724 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
31ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
4 climinf.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 climinf.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
86, 7eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
9 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐹)
103, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐹)
1110ne0d 4334 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
12 climinf.7 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
13 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
1413ralrn 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝑍 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
1514rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
1712, 16mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
182, 11, 173jca 1126 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
1918adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
20 infrecl 12200 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2321, 22ltaddrpd 13053 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦))
24 rpre 12986 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2524adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2621, 25readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ∈ ℝ)
27 infrglb 44604 . . . . . . . 8 (((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦) ∧ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹 π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦)))
2819, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹 π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹 π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦))
302sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3130adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3221adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3324ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ∈ ℝ)
3531, 34, 33ltsub1d 11827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ↔ (π‘˜ βˆ’ 𝑦) < ((inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) βˆ’ 𝑦)))
362, 11, 17, 20syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3736recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ β„‚)
3837ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ β„‚)
3933recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4038, 39pncand 11576 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ ((inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) βˆ’ 𝑦) = inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
4140breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑦) < ((inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
4235, 41bitrd 278 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) ↔ (π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
4342biimpd 228 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
4443reximdva 3166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹 π‘˜ < (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) + 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹(π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
4529, 44mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹(π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
46 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑦) = ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦))
4746breq1d 5157 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘—) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
4847rexrn 7087 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹(π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
493, 48syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹(π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5049biimpa 475 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ran 𝐹(π‘˜ βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
5145, 50syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
521adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
537uztrn2 12845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
54 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5552, 53, 54syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
56 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
57 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5852, 56, 57syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5936ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
60 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
61 fzssuz 13546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗...π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—)
62 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6362, 7sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
6463, 7eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
6564ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
6661, 65sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑗...π‘˜) βŠ† 𝑍)
67 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
6867ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:π‘βŸΆβ„ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
7069ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
71 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗...π‘˜) βŠ† 𝑍 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑗...π‘˜)(πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ))
7266, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑗...π‘˜)(πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
7372r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
74 fzssuz 13546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—)
7574, 65sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† 𝑍)
7675sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
77 climinf.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7877ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7978ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
80 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
81 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8280, 81breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
8382rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
8479, 83sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
8576, 84syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
8660, 73, 85monoord2 14003 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘—))
8755, 58, 59, 86lesub1dd 11834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
8855, 59resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
8958, 59resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
9024ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
91 lelttr 11308 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
9288, 89, 90, 91syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
9387, 92mpand 691 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
94 ltsub23 11698 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
9558, 90, 59, 94syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
962ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
973adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
98 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
9997, 53, 98syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
10096, 99sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10117ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
102 infrelb 12203 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
10396, 101, 99, 102syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
10459, 100, 103abssubge0d 15382 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
105104breq1d 5157 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) < 𝑦))
10693, 95, 1053imtr4d 293 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦))
107106anassrs 466 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦))
108107ralrimdva 3152 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦))
109108reximdva 3166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) < inf(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦))
11051, 109mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦)
111110ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦)
1127fvexi 6904 . . . 4 𝑍 ∈ V
113 fex 7229 . . . 4 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
1141, 112, 113sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
115 eqidd 2731 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1161ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
117116recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1187, 4, 114, 115, 37, 117clim2c 15453 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) < 𝑦))
119111, 118mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  abscabs 15185   ⇝ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  climinff  44625  climinf2lem  44720  supcnvlimsup  44754  stirlinglem13  45100
  Copyright terms: Public domain W3C validator