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Theorem climsqz2 15644
Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climsqz.5 (𝜑𝐺𝑊)
climsqz.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climsqz2.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
climsqz2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climsqz2 (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
81, 3, 4, 5, 7climi2 15513 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
91uztrn2 12893 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 2, 6, 11climrecl 15585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
1510, 11, 13, 14lesub1dd 11880 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
1713, 10, 16abssubge0d 15436 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
1813, 10, 11, 16, 14letrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
1913, 11, 18abssubge0d 15436 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2015, 17, 193brtr4d 5185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2120adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2210adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 15441 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2711adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2827, 23resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 15441 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31 rpre 13036 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 lelttr 11354 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3426, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3521, 34mpand 693 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
369, 35sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3736anassrs 466 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3837ralimdva 3157 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3938reximdva 3158 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
408, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
4140ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42 climsqz.5 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
43 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4412recnd 11292 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4510recnd 11292 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 15507 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4741, 46mpbird 256 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  abscabs 15239  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491
This theorem is referenced by:  expcnv  15868  explecnv  15869  plyeq0lem  26237  leibpi  26970  emcllem4  27027  basellem6  27114  basellem9  27117  wallispilem5  45690  stirlinglem1  45695
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