Theorem climsqz2 15584

Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climsqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climsqz.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climsqz2.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
climsqz2.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climsqz2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz2

Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8	1, 3, 4, 5, 7	climi2 15453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
9	1	uztrn2 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10		climsqz.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
11		climsqz.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12	1, 2, 6, 11	climrecl 15525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		climsqz2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	10, 11, 13, 14	lesub1dd 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
16		climsqz2.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑘))
17	13, 10, 16	abssubge0d 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) = ((𝐺‘𝑘) − 𝐴))
18	13, 10, 11, 16, 14	letrd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	13, 11, 18	abssubge0d 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
20	15, 17, 19	3brtr4d 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
21	20	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
22	10	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
23	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
27	11	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
28	27, 23	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31		rpre 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		lelttr 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
34	26, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
35	21, 34	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
36	9, 35	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
37	36	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
38	37	ralimdva 3145	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
39	38	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
40	8, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42		climsqz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
43		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	12	recnd 11178	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
45	10	recnd 11178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
46	1, 2, 42, 43, 44, 45	clim2c 15447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
47	41, 46	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  abscabs 15176   ⇝ cli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431

This theorem is referenced by:  expcnv  15806  explecnv  15807  plyeq0lem  26091  leibpi  26828  emcllem4  26885  basellem6  26972  basellem9  26975  wallispilem5  46040  stirlinglem1  46045