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Theorem climsqz2 15592
Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climsqz.5 (𝜑𝐺𝑊)
climsqz.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climsqz2.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
climsqz2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climsqz2 (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
81, 3, 4, 5, 7climi2 15461 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
91uztrn2 12845 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 2, 6, 11climrecl 15533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
1510, 11, 13, 14lesub1dd 11834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
1713, 10, 16abssubge0d 15384 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
1813, 10, 11, 16, 14letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
1913, 11, 18abssubge0d 15384 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2015, 17, 193brtr4d 5173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2120adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2210adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 15389 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2711adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2827, 23resubcld 11646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 15389 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31 rpre 12988 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 lelttr 11308 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3426, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3521, 34mpand 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
369, 35sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3736anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3837ralimdva 3161 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3938reximdva 3162 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
408, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
4140ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42 climsqz.5 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
43 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4412recnd 11246 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4510recnd 11246 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 15455 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4741, 46mpbird 257 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cz 12562  cuz 12826  +crp 12980  abscabs 15187  cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439
This theorem is referenced by:  expcnv  15816  explecnv  15817  plyeq0lem  26099  leibpi  26829  emcllem4  26886  basellem6  26973  basellem9  26976  wallispilem5  45354  stirlinglem1  45359
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