MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim0c 14855
Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim0.3 (𝜑𝐹𝑉)
clim0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
clim0c.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim0c (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0c
StepHypRef Expression
1 clim0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 clim0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 clim0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4 clim0.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 0cnd 10623 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
6 clim0c.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
71, 2, 3, 4, 5, 6clim2c 14853 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))
81uztrn2 12250 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
96subid1d 10975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
109fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
1110breq1d 5052 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
128, 11sylan2 595 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1312anassrs 471 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1413ralbidva 3186 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1514rexbidva 3282 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1615ralbidv 3187 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
177, 16bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526   < clt 10664  cmin 10859  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14584  cli 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-clim 14836
This theorem is referenced by:  climabs0  14933  serf0  15028  iseralt  15032  lmclim2  35154  geomcau  35155  fourierdlem103  42790  fourierdlem104  42791
  Copyright terms: Public domain W3C validator