Theorem clim0 15143

Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
clim0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clim0	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		clim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		clim0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		clim0.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	clim2 15141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))))
6		0cn 10898	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	6	biantrur 530	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
8		subid1 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
9	8	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
10	9	breq1d 5080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
11	10	pm5.32i 574	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
12	11	ralbii 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
13	12	rexbii 3177	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
14	13	ralbii 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
15	7, 14	bitr3i 276	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
16	5, 15	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   < clt 10940   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-clim 15125

This theorem is referenced by: (None)