Theorem clim0 15594

Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
clim0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clim0	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		clim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		clim0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		clim0.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	clim2 15592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))))
6		0cn 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	6	biantrur 540	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
8		subid1 11503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
9	8	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
10	9	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
11	10	pm5.32i 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
12	11	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
13	12	rexbii 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
14	13	ralbii 3108	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
15	7, 14	bitr3i 280	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
16	5, 15	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   < clt 11268   − cmin 11466  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ℝ⁺crp 13043  abscabs 15322   ⇝ cli 15572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889  df-clim 15576

This theorem is used by: (None)