MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim0 15503
Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim0.3 (𝜑𝐹𝑉)
clim0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
clim0 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0
StepHypRef Expression
1 clim0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 clim0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 clim0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4 clim0.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
51, 2, 3, 4clim2 15501 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))))
6 0cn 11252 . . . 4 0 ∈ ℂ
76biantrur 529 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
8 subid1 11526 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
98fveq2d 6904 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
109breq1d 5162 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1110pm5.32i 573 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1211ralbii 3082 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1312rexbii 3083 . . . 4 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1413ralbii 3082 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
157, 14bitr3i 276 . 2 ((0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥))
165, 15bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7423  cc 11152  0cc0 11154   < clt 11294  cmin 11490  cz 12605  cuz 12869  +crp 13023  abscabs 15234  cli 15481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-z 12606  df-uz 12870  df-clim 15485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator