MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 26336
Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmclm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmclm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
ulmclm.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) = (π»β€˜π‘˜))
ulmclm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐻   π‘˜,𝑀   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄))
4 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΄))
53, 4oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
65fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
76breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
87rspcv 3605 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
109ralimdv 3166 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
1110reximdv 3167 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
1211ralimdv 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
14 ulmclm.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 ulmclm.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
17 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
18 ulmcl 26330 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
191, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
20 ulmscl 26328 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 26334 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
23 ulmclm.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) = (π»β€˜π‘˜))
2524eqcomd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄))
2619, 2ffvelcdmd 7095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2715ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8868 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
302adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3129, 30ffvelcdmd 7095 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) ∈ β„‚)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 15482 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
3312, 22, 323imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄)))
341, 33mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  β„‚cc 11137   < clt 11279   βˆ’ cmin 11475  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  β„+crp 13007  abscabs 15214   ⇝ cli 15461  β‡π‘’culm 26325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-neg 11478  df-z 12590  df-uz 12854  df-clim 15465  df-ulm 26326
This theorem is referenced by:  ulmuni  26341  ulmdvlem3  26351  mbfulm  26355  pserulm  26371  lgamgulm2  26981  lgamcvglem  26985  knoppcnlem9  35976  knoppndvlem4  35990
  Copyright terms: Public domain W3C validator