Theorem ulmclm 26352

Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmclm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmclm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
ulmclm.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
ulmclm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmclm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmclm.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmclm.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
4		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
7	6	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
8	7	rspcv 3560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
10	9	ralimdv 3151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
11	10	reximdv 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
12	11	ralimdv 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
13		ulmclm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14		ulmclm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		ulmclm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
17		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
18		ulmcl 26346	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20		ulmscl 26344	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22	13, 14, 15, 16, 17, 19, 21	ulm2 26350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
23		ulmclm.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
24		ulmclm.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
25	24	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
26	19, 2	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
27	15	ffvelcdmda 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
30	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31	29, 30	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
32	13, 14, 23, 25, 26, 31	clim2c 15467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
33	12, 22, 32	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴)))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℂcc 11036   < clt 11179   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-clim 15450  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  ulmuni  26357  ulmdvlem3  26367  mbfulm  26371  pserulm  26387  lgamgulm2  26999  lgamcvglem  27003  knoppcnlem9  36761  knoppndvlem4  36775