MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 26445
Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmclm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (𝜑𝐴𝑆)
ulmclm.h (𝜑𝐻𝑊)
ulmclm.e ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
ulmclm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
3 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
4 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
53, 4oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴)))
65fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))))
76breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
87rspcv 3618 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
109ralimdv 3167 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1110reximdv 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1211ralimdv 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
14 ulmclm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 ulmclm.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
17 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
18 ulmcl 26439 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
20 ulmscl 26437 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 26443 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
23 ulmclm.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑊)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
2524eqcomd 2741 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
2619, 2ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2715ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8888 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
302adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑆)
3129, 30ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 15538 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
3312, 22, 323imtr4d 294 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻 ⇝ (𝐺𝐴)))
341, 33mpd 15 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151   < clt 11293  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270  cli 15517  𝑢culm 26434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-clim 15521  df-ulm 26435
This theorem is referenced by:  ulmuni  26450  ulmdvlem3  26460  mbfulm  26464  pserulm  26480  lgamgulm2  27094  lgamcvglem  27098  knoppcnlem9  36484  knoppndvlem4  36498
  Copyright terms: Public domain W3C validator