MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 26431
Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmclm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (𝜑𝐴𝑆)
ulmclm.h (𝜑𝐻𝑊)
ulmclm.e ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
ulmclm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
3 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
4 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
53, 4oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴)))
65fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))))
76breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
87rspcv 3617 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
109ralimdv 3168 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1110reximdv 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1211ralimdv 3168 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
14 ulmclm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 ulmclm.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
17 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
18 ulmcl 26425 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
20 ulmscl 26423 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 26429 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
23 ulmclm.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑊)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
2524eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
2619, 2ffvelcdmd 7104 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2715ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8890 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
302adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑆)
3129, 30ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 15542 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
3312, 22, 323imtr4d 294 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻 ⇝ (𝐺𝐴)))
341, 33mpd 15 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154   < clt 11296  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  abscabs 15274  cli 15521  𝑢culm 26420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880  df-clim 15525  df-ulm 26421
This theorem is referenced by:  ulmuni  26436  ulmdvlem3  26446  mbfulm  26450  pserulm  26466  lgamgulm2  27080  lgamcvglem  27084  knoppcnlem9  36503  knoppndvlem4  36517
  Copyright terms: Public domain W3C validator