MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 25762
Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmclm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmclm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
ulmclm.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) = (π»β€˜π‘˜))
ulmclm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐻   π‘˜,𝑀   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄))
4 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΄))
53, 4oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
65fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
76breq1d 5120 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
87rspcv 3580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
109ralimdv 3167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
1110reximdv 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
1211ralimdv 3167 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
14 ulmclm.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 ulmclm.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
17 eqidd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
18 ulmcl 25756 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
191, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
20 ulmscl 25754 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 25760 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
23 ulmclm.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) = (π»β€˜π‘˜))
2524eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄))
2619, 2ffvelcdmd 7041 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2715ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8794 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
302adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3129, 30ffvelcdmd 7041 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) ∈ β„‚)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 15394 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) < π‘₯))
3312, 22, 323imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄)))
341, 33mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (πΊβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-clim 15377  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmuni  25767  ulmdvlem3  25777  mbfulm  25781  pserulm  25797  lgamgulm2  26401  lgamcvglem  26405  knoppcnlem9  34993  knoppndvlem4  35007
  Copyright terms: Public domain W3C validator