Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 24960
 Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmclm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (𝜑𝐴𝑆)
ulmclm.h (𝜑𝐻𝑊)
ulmclm.e ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
ulmclm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
3 fveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
4 fveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
53, 4oveq12d 7148 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴)))
65fveq2d 6647 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))))
76breq1d 5049 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
87rspcv 3595 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
109ralimdv 3166 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1110reximdv 3259 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1211ralimdv 3166 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
14 ulmclm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 ulmclm.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2822 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
17 eqidd 2822 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
18 ulmcl 24954 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
20 ulmscl 24952 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 24958 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
23 ulmclm.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑊)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
2524eqcomd 2827 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
2619, 2ffvelrnd 6825 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2715ffvelrnda 6824 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8403 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
302adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑆)
3129, 30ffvelrnd 6825 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 14841 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
3312, 22, 323imtr4d 297 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻 ⇝ (𝐺𝐴)))
341, 33mpd 15 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127  Vcvv 3471   class class class wbr 5039  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑m cmap 8381  ℂcc 10512   < clt 10652   − cmin 10847  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ℝ+crp 12367  abscabs 14572   ⇝ cli 14820  ⇝𝑢culm 24949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-neg 10850  df-z 11960  df-uz 12222  df-clim 14824  df-ulm 24950 This theorem is referenced by:  ulmuni  24965  ulmdvlem3  24975  mbfulm  24979  pserulm  24995  lgamgulm2  25599  lgamcvglem  25603  knoppcnlem9  33847  knoppndvlem4  33861
 Copyright terms: Public domain W3C validator