Theorem ulmclm 26274

Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmclm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmclm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
ulmclm.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
ulmclm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmclm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmclm.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmclm.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		fveq2 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
4		fveq2 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
7	6	breq1d 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
8	7	rspcv 3602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
10	9	ralimdv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
11	10	reximdv 3164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
12	11	ralimdv 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
13		ulmclm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14		ulmclm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		ulmclm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
17		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
18		ulmcl 26268	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20		ulmscl 26266	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22	13, 14, 15, 16, 17, 19, 21	ulm2 26272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
23		ulmclm.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
24		ulmclm.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
25	24	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
26	19, 2	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
27	15	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28		elmapi 8842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
30	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31	29, 30	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
32	13, 14, 23, 25, 26, 31	clim2c 15453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
33	12, 22, 32	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴)))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8819  ℂcc 11107   < clt 11249   − cmin 11445  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ℝ⁺crp 12977  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  ⇝_𝑢culm 26263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-z 12560  df-uz 12824  df-clim 15436  df-ulm 26264

This theorem is referenced by:  ulmuni  26279  ulmdvlem3  26289  mbfulm  26293  pserulm  26309  lgamgulm2  26919  lgamcvglem  26923  knoppcnlem9  35885  knoppndvlem4  35899