Theorem ulmclm 26371

Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmclm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmclm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
ulmclm.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
ulmclm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmclm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmclm.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmclm.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
4		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
7	6	breq1d 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
8	7	rspcv 3556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
10	9	ralimdv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
11	10	reximdv 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
12	11	ralimdv 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
13		ulmclm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14		ulmclm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		ulmclm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
17		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
18		ulmcl 26365	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20		ulmscl 26363	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22	13, 14, 15, 16, 17, 19, 21	ulm2 26369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
23		ulmclm.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
24		ulmclm.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
25	24	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
26	19, 2	ffvelcdmd 7027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
27	15	ffvelcdmda 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28		elmapi 8787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
30	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31	29, 30	ffvelcdmd 7027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
32	13, 14, 23, 25, 26, 31	clim2c 15459	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
33	12, 22, 32	3imtr4d 295	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴)))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   class class class wbr 5073  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  ℂcc 11028   < clt 11171   − cmin 11369  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ℝ⁺crp 12934  abscabs 15188   ⇝ cli 15438  ⇝_𝑢culm 26360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-neg 11372  df-z 12517  df-uz 12781  df-clim 15442  df-ulm 26361

This theorem is referenced by:  ulmuni  26376  ulmdvlem3  26386  mbfulm  26390  pserulm  26406  lgamgulm2  27018  lgamcvglem  27022  knoppcnlem9  36816  knoppndvlem4  36830