Theorem ulmclm 26353

Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmclm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmclm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
ulmclm.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
ulmclm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmclm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmclm.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmclm.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
4		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
7	6	breq1d 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
8	7	rspcv 3602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
10	9	ralimdv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
11	10	reximdv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
12	11	ralimdv 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
13		ulmclm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14		ulmclm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		ulmclm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
17		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
18		ulmcl 26347	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20		ulmscl 26345	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22	13, 14, 15, 16, 17, 19, 21	ulm2 26351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
23		ulmclm.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
24		ulmclm.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
25	24	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
26	19, 2	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
27	15	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28		elmapi 8868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
30	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31	29, 30	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
32	13, 14, 23, 25, 26, 31	clim2c 15526	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
33	12, 22, 32	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴)))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  ℂcc 11132   < clt 11274   − cmin 11471  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  abscabs 15258   ⇝ cli 15505  ⇝_𝑢culm 26342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-clim 15509  df-ulm 26343

This theorem is referenced by:  ulmuni  26358  ulmdvlem3  26368  mbfulm  26372  pserulm  26388  lgamgulm2  27003  lgamcvglem  27007  knoppcnlem9  36524  knoppndvlem4  36538