Theorem ulmclm 26368

Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmclm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmclm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ulmclm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
ulmclm.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
ulmclm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmclm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmclm.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmclm.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
4		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
7	6	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
8	7	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
10	9	ralimdv 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
11	10	reximdv 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
12	11	ralimdv 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
13		ulmclm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14		ulmclm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		ulmclm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
17		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
18		ulmcl 26362	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20		ulmscl 26360	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22	13, 14, 15, 16, 17, 19, 21	ulm2 26366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
23		ulmclm.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
24		ulmclm.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) = (𝐻‘𝑘))
25	24	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝐴))
26	19, 2	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
27	15	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28		elmapi 8790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
30	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31	29, 30	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
32	13, 14, 23, 25, 26, 31	clim2c 15461	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) < 𝑥))
33	12, 22, 32	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴)))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11030   < clt 11173   − cmin 11371  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190   ⇝ cli 15440  ⇝_𝑢culm 26357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-neg 11374  df-z 12519  df-uz 12783  df-clim 15444  df-ulm 26358

This theorem is referenced by:  ulmuni  26373  ulmdvlem3  26383  mbfulm  26387  pserulm  26403  lgamgulm2  27016  lgamcvglem  27020  knoppcnlem9  36780  knoppndvlem4  36794