MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmclm 25311
Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmclm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmclm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmclm.a (𝜑𝐴𝑆)
ulmclm.h (𝜑𝐻𝑊)
ulmclm.e ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
ulmclm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmclm (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmclm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
3 fveq2 6739 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
4 fveq2 6739 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
53, 4oveq12d 7253 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴)))
65fveq2d 6743 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))))
76breq1d 5080 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
87rspcv 3547 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
109ralimdv 3104 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1110reximdv 3202 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
1211ralimdv 3104 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
13 ulmclm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
14 ulmclm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 ulmclm.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
16 eqidd 2740 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
17 eqidd 2740 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
18 ulmcl 25305 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
20 ulmscl 25303 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 25309 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
23 ulmclm.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑊)
24 ulmclm.e . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) = (𝐻𝑘))
2524eqcomd 2745 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝐴))
2619, 2ffvelrnd 6927 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2715ffvelrnda 6926 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8554 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
302adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑆)
3129, 30ffvelrnd 6927 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)‘𝐴) ∈ ℂ)
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 15099 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝐴) − (𝐺𝐴))) < 𝑥))
3312, 22, 323imtr4d 297 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻 ⇝ (𝐺𝐴)))
341, 33mpd 15 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3423   class class class wbr 5070  wf 6397  cfv 6401  (class class class)co 7235  m cmap 8532  cc 10757   < clt 10897  cmin 11092  cz 12206  cuz 12468  +crp 12616  abscabs 14830  cli 15078  𝑢culm 25300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-po 5486  df-so 5487  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-er 8415  df-map 8534  df-pm 8535  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-neg 11095  df-z 12207  df-uz 12469  df-clim 15082  df-ulm 25301
This theorem is referenced by:  ulmuni  25316  ulmdvlem3  25326  mbfulm  25330  pserulm  25346  lgamgulm2  25950  lgamcvglem  25954  knoppcnlem9  34452  knoppndvlem4  34466
  Copyright terms: Public domain W3C validator