MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim 15578
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
rlimclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 rlimclim.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
6 fdm 6745 . . . . 5 (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 4054 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍𝑍 ⊆ dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 15577 . 2 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝐴)
11 climcl 15531 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
132ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2735 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
16 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 15543 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 12896 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
191, 18eqsstri 4029 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
20 zssre 12617 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
2119, 20sstri 4004 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
22 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑤 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑤))
2322fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)))
2423breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑍)
2719, 26sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤𝑍)
2919, 28sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑤)
31 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (ℤ𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑤))
3227, 29, 30, 31syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ𝑧))
3324, 25, 32rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 456 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 456 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38 ssrexv 4064 . . . . . 6 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3921, 37, 38mpsylsyld 69 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
4017, 39mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4140ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
425adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4321a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44 eqidd 2735 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑤𝑍) → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑤))
4542, 43, 44rlim 15527 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
4612, 41, 45mpbir2and 713 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
4710, 46impbida 801 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  cli 15516  𝑟 crli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828  df-clim 15520  df-rlim 15521
This theorem is referenced by:  climmpt2  15605  climrecl  15615  climge0  15616  caurcvg  15709  caucvg  15711  climfsum  15852  divcnv  15885  dfef2  27028
  Copyright terms: Public domain W3C validator