Theorem rlimclim 15499

Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		rlimclim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
5		rlimclim.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		fdm 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7		eqimss2 3982	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
10	1, 3, 4, 9	rlimclim1 15498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climcl 15452	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
17	1, 13, 14, 15, 16	climi2 15464	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18		uzssz 12800	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	1, 18	eqsstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		zssre 12522	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
21	19, 20	sstri 3932	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
22		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑤))
23	22	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑍)
27	19, 26	sselid 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑍)
29	19, 28	sselid 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ≤ 𝑤)
31		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑤))
32	27, 29, 30, 31	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧))
33	24, 25, 32	rspcdva 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
34	33	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
35	34	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
36	35	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
37	36	reximdva 3151	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38		ssrexv 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
39	21, 37, 38	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
40	17, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
42	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
43	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
45	42, 43, 44	rlim 15448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
46	12, 41, 45	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
47	10, 46	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   ⇝ cli 15437   ⇝_𝑟 crli 15438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742  df-clim 15441  df-rlim 15442

This theorem is referenced by:  climmpt2  15526  climrecl  15536  climge0  15537  caurcvg  15630  caucvg  15632  climfsum  15774  divcnv  15809  dfef2  26948