Theorem rlimclim 15300

Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		rlimclim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
5		rlimclim.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		fdm 6639	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7		eqimss2 3983	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
9	8	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
10	1, 3, 4, 9	rlimclim1 15299	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climcl 15253	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	2	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
17	1, 13, 14, 15, 16	climi2 15265	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18		uzssz 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	1, 18	eqsstri 3960	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		zssre 12372	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
21	19, 20	sstri 3935	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
22		fveq2 6804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑤))
23	22	fvoveq1d 7329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑍)
27	19, 26	sselid 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑍)
29	19, 28	sselid 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ≤ 𝑤)
31		eluz2 12634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑤))
32	27, 29, 30, 31	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧))
33	24, 25, 32	rspcdva 3567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
34	33	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
35	34	ralrimiva 3140	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
36	35	expr 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
37	36	reximdva 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38		ssrexv 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
39	21, 37, 38	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
40	17, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
42	5	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
43	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
45	42, 43, 44	rlim 15249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
46	12, 41, 45	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
47	10, 46	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  dom cdm 5600  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  ℝcr 10916   < clt 11055   ≤ cle 11056   − cmin 11251  ℤcz 12365  ℤ_≥cuz 12628  ℝ⁺crp 12776  abscabs 14990   ⇝ cli 15238   ⇝_𝑟 crli 15239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fl 13558  df-clim 15242  df-rlim 15243

This theorem is referenced by:  climmpt2  15327  climrecl  15337  climge0  15338  caurcvg  15433  caucvg  15435  climfsum  15577  divcnv  15610  dfef2  26165