MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim 15490
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
rlimclim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
rlimclim.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑀 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 rlimclim.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
6 fdm 6727 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 4042 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 15489 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15443 . . . 4 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
132ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2734 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 15455 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 12843 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
191, 18eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
20 zssre 12565 . . . . . . 7 β„€ βŠ† ℝ
2119, 20sstri 3992 . . . . . 6 𝑍 βŠ† ℝ
22 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
2322fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)))
2423breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
25 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
26 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
2719, 26sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
28 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
2919, 28sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
30 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)
31 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§) ↔ (𝑧 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ≀ 𝑀))
3227, 29, 30, 31syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§))
3324, 25, 32rspcdva 3614 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 458 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 458 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
38 ssrexv 4052 . . . . . 6 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3921, 37, 38mpsylsyld 69 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
4017, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
4140ralrimiva 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
425adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
4321a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
44 eqidd 2734 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
4542, 43, 44rlim 15439 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))))
4612, 41, 45mpbir2and 712 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
4710, 46impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181   ⇝ cli 15428   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-clim 15432  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  climmpt2  15517  climrecl  15527  climge0  15528  caurcvg  15623  caucvg  15625  climfsum  15766  divcnv  15799  dfef2  26475
  Copyright terms: Public domain W3C validator