MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim 14891
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
rlimclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 rlimclim.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
6 fdm 6515 . . . . 5 (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 4021 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍𝑍 ⊆ dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 14890 . 2 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝐴)
11 climcl 14844 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1211adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
132ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2819 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
16 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 14856 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 12252 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
191, 18eqsstri 3998 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
20 zssre 11976 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
2119, 20sstri 3973 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
22 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑤 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑤))
2322fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)))
2423breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑍)
2719, 26sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤𝑍)
2919, 28sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑤)
31 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (ℤ𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑤))
3227, 29, 30, 31syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ𝑧))
3324, 25, 32rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 457 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 457 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3271 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38 ssrexv 4031 . . . . . 6 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3921, 37, 38mpsylsyld 69 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
4017, 39mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4140ralrimiva 3179 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
425adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4321a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44 eqidd 2819 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑤𝑍) → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑤))
4542, 43, 44rlim 14840 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
4612, 41, 45mpbir2and 709 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
4710, 46impbida 797 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829  𝑟 crli 14830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13150  df-clim 14833  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  climmpt2  14918  climrecl  14928  climge0  14929  caurcvg  15021  caucvg  15023  climfsum  15163  divcnv  15196  dfef2  25475
  Copyright terms: Public domain W3C validator