MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim 15496
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
rlimclim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
rlimclim.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑀 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 rlimclim.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
6 fdm 6720 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 4036 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 15495 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15449 . . . 4 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
132ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 15461 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 12847 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
191, 18eqsstri 4011 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
20 zssre 12569 . . . . . . 7 β„€ βŠ† ℝ
2119, 20sstri 3986 . . . . . 6 𝑍 βŠ† ℝ
22 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
2322fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)))
2423breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
25 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
26 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
2719, 26sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
28 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
2919, 28sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
30 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)
31 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§) ↔ (𝑧 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ≀ 𝑀))
3227, 29, 30, 31syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§))
3324, 25, 32rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 456 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 456 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3162 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
38 ssrexv 4046 . . . . . 6 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3921, 37, 38mpsylsyld 69 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
4017, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
4140ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
425adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
4321a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
44 eqidd 2727 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
4542, 43, 44rlim 15445 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))))
4612, 41, 45mpbir2and 710 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
4710, 46impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  abscabs 15187   ⇝ cli 15434   β‡π‘Ÿ crli 15435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13763  df-clim 15438  df-rlim 15439
This theorem is referenced by:  climmpt2  15523  climrecl  15533  climge0  15534  caurcvg  15629  caucvg  15631  climfsum  15772  divcnv  15805  dfef2  26858
  Copyright terms: Public domain W3C validator