Theorem rlimclim 15560

Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		rlimclim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
5		rlimclim.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		fdm 6714	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7		eqimss2 4018	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
10	1, 3, 4, 9	rlimclim1 15559	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climcl 15513	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
17	1, 13, 14, 15, 16	climi2 15525	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18		uzssz 12871	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	1, 18	eqsstri 4005	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		zssre 12593	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
21	19, 20	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
22		fveq2 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑤))
23	22	fvoveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑍)
27	19, 26	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑍)
29	19, 28	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ≤ 𝑤)
31		eluz2 12856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑤))
32	27, 29, 30, 31	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧))
33	24, 25, 32	rspcdva 3602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
34	33	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
35	34	ralrimiva 3132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
36	35	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
37	36	reximdva 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38		ssrexv 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
39	21, 37, 38	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
40	17, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
42	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
43	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
45	42, 43, 44	rlim 15509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
46	12, 41, 45	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
47	10, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ℝ⁺crp 13006  abscabs 15251   ⇝ cli 15498   ⇝_𝑟 crli 15499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fl 13807  df-clim 15502  df-rlim 15503

This theorem is referenced by:  climmpt2  15587  climrecl  15597  climge0  15598  caurcvg  15691  caucvg  15693  climfsum  15834  divcnv  15867  dfef2  26931