Theorem rlimclim 15508

Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		rlimclim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
5		rlimclim.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		fdm 6677	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7		eqimss2 3981	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
10	1, 3, 4, 9	rlimclim1 15507	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climcl 15461	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
17	1, 13, 14, 15, 16	climi2 15473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18		uzssz 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	1, 18	eqsstri 3968	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		zssre 12531	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
21	19, 20	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
22		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑤))
23	22	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑍)
27	19, 26	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑍)
29	19, 28	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ≤ 𝑤)
31		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑤))
32	27, 29, 30, 31	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧))
33	24, 25, 32	rspcdva 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
34	33	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
35	34	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
36	35	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
37	36	reximdva 3150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38		ssrexv 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
39	21, 37, 38	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
40	17, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
42	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
43	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
45	42, 43, 44	rlim 15457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
46	12, 41, 45	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
47	10, 46	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝ cli 15446   ⇝_𝑟 crli 15447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fl 13751  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  climmpt2  15535  climrecl  15545  climge0  15546  caurcvg  15639  caucvg  15641  climfsum  15783  divcnv  15818  dfef2  26934