MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim 15532
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
rlimclim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
rlimclim.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑀 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 rlimclim.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
6 fdm 6736 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 4041 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 15531 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15485 . . . 4 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
132ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 15497 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 12883 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
191, 18eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
20 zssre 12605 . . . . . . 7 β„€ βŠ† ℝ
2119, 20sstri 3991 . . . . . 6 𝑍 βŠ† ℝ
22 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
2322fvoveq1d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)))
2423breq1d 5162 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
25 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
26 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
2719, 26sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
28 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
2919, 28sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)
31 eluz2 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§) ↔ (𝑧 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ≀ 𝑀))
3227, 29, 30, 31syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§))
3324, 25, 32rspcdva 3612 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 455 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 455 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
38 ssrexv 4051 . . . . . 6 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
3921, 37, 38mpsylsyld 69 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘§)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
4017, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
4140ralrimiva 3143 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
425adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
4321a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
44 eqidd 2729 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
4542, 43, 44rlim 15481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 (𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))))
4612, 41, 45mpbir2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
4710, 46impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β„+crp 13016  abscabs 15223   ⇝ cli 15470   β‡π‘Ÿ crli 15471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fl 13799  df-clim 15474  df-rlim 15475
This theorem is referenced by:  climmpt2  15559  climrecl  15569  climge0  15570  caurcvg  15665  caucvg  15667  climfsum  15808  divcnv  15841  dfef2  26931
  Copyright terms: Public domain W3C validator