Theorem rlimclim 15460

Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem rlimclim

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		rlimclim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
5		rlimclim.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		fdm 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7		eqimss2 3990	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
10	1, 3, 4, 9	rlimclim1 15459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climcl 15413	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
17	1, 13, 14, 15, 16	climi2 15425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18		uzssz 12763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	1, 18	eqsstri 3977	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		zssre 12486	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
21	19, 20	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
22		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑤))
23	22	fvoveq1d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
25		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
26		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑍)
27	19, 26	sselid 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
28		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑍)
29	19, 28	sselid 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
30		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑧 ≤ 𝑤)
31		eluz2 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑤))
32	27, 29, 30, 31	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘𝑧))
33	24, 25, 32	rspcdva 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ≤ 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
34	33	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
35	34	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
36	35	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
37	36	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38		ssrexv 4000	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
39	21, 37, 38	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑧)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
40	17, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
42	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
43	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
44		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
45	42, 43, 44	rlim 15409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑍 (𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
46	12, 41, 45	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
47	10, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ℝ⁺crp 12896  abscabs 15148   ⇝ cli 15398   ⇝_𝑟 crli 15399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fl 13703  df-clim 15402  df-rlim 15403

This theorem is referenced by:  climmpt2  15487  climrecl  15497  climge0  15498  caurcvg  15591  caucvg  15593  climfsum  15734  divcnv  15767  dfef2  26928