Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncmslem 35990
Description: Lemma for rrncms 35991. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
rrncms.4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
rrncms.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
rrncmslem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 22381 . 2 Rel (⇝𝑡𝐽)
2 fvex 6787 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
42, 3fnmpti 6576 . . . . . . 7 𝑃 Fn 𝐼
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑃 Fn 𝐼)
6 nnuz 12621 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12351 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑘))
98fveq1d 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
10 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))
11 fvex 6787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
14 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1514ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
16 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1715, 16eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18 elmapi 8637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2120an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2213, 21eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
2322recnd 11003 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
25 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2616rrnmet 35987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28 metxmet 23487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30 1zzd 12351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
32 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
336, 29, 30, 31, 32, 14iscauf 24444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥))
3424, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3625ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝐼)
3814ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39 eluznn 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
42 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
4338, 42ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
44 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4516, 44rrndstprj1 35988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛𝐼) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4636, 37, 41, 43, 45syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4727ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48 metsym 23503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
4947, 41, 43, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5046, 49breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5150adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5244remet 23953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑛𝐼))
5554, 40, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
5614ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5756, 16eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58 elmapi 8637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6160an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63 metcl 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6453, 55, 62, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6564adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66 metcl 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6747, 43, 41, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6867adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 rpre 12738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72 lelttr 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7365, 68, 71, 72syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7451, 73mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7574ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7675reximdva 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7776ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7844remetdval 23952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
7955, 62, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8040, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
81 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑗 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
83 fvex 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ V
8482, 10, 83fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8584ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8680, 85oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛)))
8786fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8879, 87eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
8988breq1d 5084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9089ralbidva 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9190rexbidva 3225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9291ralbidv 3112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9377, 92sylibd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9435, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95 nnex 11979 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
9695mptex 7099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
986, 23, 94, 97caucvg 15390 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99 climdm 15263 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
10098, 99sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
101 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑡)‘𝑚) = ((𝐹𝑡)‘𝑛))
102101mpteq2dv 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)))
103102fveq2d 6778 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
104 fvex 6787 . . . . . . . . . . 11 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105103, 3, 104fvmpt 6875 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐼 → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
107100, 106breqtrrd 5102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1086, 7, 107, 22climrecl 15292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
109108ralrimiva 3103 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
110 ffnfv 6992 . . . . . 6 (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ))
1115, 109, 110sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝐼⟶ℝ)
112 reex 10962 . . . . . 6 ℝ ∈ V
113 elmapg 8628 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114112, 25, 113sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115111, 114mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
116115, 16eleqtrrdi 2850 . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
117 1nn 11984 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
11825ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
11915adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
120116ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
12116rrnmval 35986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
122118, 119, 120, 121syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
123 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124123sumeq1d 15413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2))
125 sum0 15433 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0
126124, 125eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0)
127126fveq2d 6778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)) = (√‘0))
128122, 127eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘0))
129 sqrt0 14953 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
130128, 129eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = 0)
131 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpgt0d 12775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133130, 132eqbrtrd 5096 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
134133ralrimiva 3103 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
135 fveq2 6774 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = (ℤ‘1))
136135, 6eqtr4di 2796 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = ℕ)
137136raleqdv 3348 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
138137rspcev 3561 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
139117, 134, 138sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
140139expr 457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
141 1zzd 12351 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
14425adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145 hashnncl 14081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147143, 146mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
148147nnrpd 12770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
149148rpsqrtcld 15123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150142, 149rpdivcld 12789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
15212adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
153107adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1546, 141, 151, 152, 153climi2 15220 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
155 1z 12350 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
1566rexuz3 15060 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
157155, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
15821adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159108adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
16144remetdval 23952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
162158, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
163162breq1d 5084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
16439, 163sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
165164anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
166165ralbidva 3111 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
167166rexbidva 3225 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
168157, 167bitr3id 285 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
169154, 168mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
170169ralrimiva 3103 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
1716rexuz3 15060 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
172155, 171ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
173 rexfiuz 15059 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
174144, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
175172, 174syl5bb 283 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
176170, 175mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
17725ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179 eldifsn 4720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180177, 178, 179sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
18114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182181ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
183116ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
184150adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
18516, 44rrndstprj2 35989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))))
186185expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
187180, 182, 183, 184, 186syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
188 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189188rpcnd 12774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191190rpcnd 12774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
192190rpne0d 12777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
193189, 191, 192divcan1d 11752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑥)
194193breq2d 5086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
195187, 194sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
19639, 195sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
197196anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
198197ralimdva 3108 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
199198reximdva 3203 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
200176, 199mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
201200expr 457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
202140, 201pm2.61dne 3031 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
203202ralrimiva 3103 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
204 rrncms.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
205204, 29, 6, 30, 31, 14lmmbrf 24426 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206116, 203, 205mpbir2and 710 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
207 releldm 5853 . 2 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2081, 206, 207sylancr 587 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589  cres 5591  ccom 5593  Rel wrel 5594   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  cexp 13782  chash 14044  csqrt 14944  abscabs 14945  cli 15193  Σcsu 15397  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  MetOpencmopn 20587  𝑡clm 22377  Cauccau 24417  ncrrn 35983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-lm 22380  df-cau 24420  df-rrn 35984
This theorem is referenced by:  rrncms  35991
  Copyright terms: Public domain W3C validator