Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncmslem 36280
Description: Lemma for rrncms 36281. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
rrncms.4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
rrncms.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
rrncmslem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 22577 . 2 Rel (⇝𝑡𝐽)
2 fvex 6853 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
42, 3fnmpti 6642 . . . . . . 7 𝑃 Fn 𝐼
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑃 Fn 𝐼)
6 nnuz 12803 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12531 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑘))
98fveq1d 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))
11 fvex 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
14 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1514ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
16 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1715, 16eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18 elmapi 8784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
2019ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2120an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2213, 21eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
2322recnd 11180 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
25 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2616rrnmet 36277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28 metxmet 23683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30 1zzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
32 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
336, 29, 30, 31, 32, 14iscauf 24640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥))
3424, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝐼)
3814ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39 eluznn 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelcdmd 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
42 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
4338, 42ffvelcdmd 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
44 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4516, 44rrndstprj1 36278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛𝐼) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4636, 37, 41, 43, 45syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4727ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48 metsym 23699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
4947, 41, 43, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5046, 49breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5150adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5244remet 24149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑛𝐼))
5554, 40, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
5614ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5756, 16eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58 elmapi 8784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
6059ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6160an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63 metcl 23681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6453, 55, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6564adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66 metcl 23681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6747, 43, 41, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6867adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 rpre 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72 lelttr 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7365, 68, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7451, 73mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7574ralimdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7675reximdva 3164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7776ralimdva 3163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7844remetdval 24148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
7955, 62, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8040, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
81 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑗 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
83 fvex 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ V
8482, 10, 83fvmpt 6946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8584ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8680, 85oveq12d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛)))
8786fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8879, 87eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
8988breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9089ralbidva 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9190rexbidva 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9291ralbidv 3173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9377, 92sylibd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9435, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95 nnex 12156 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
9695mptex 7170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
986, 23, 94, 97caucvg 15560 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99 climdm 15433 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
10098, 99sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
101 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑡)‘𝑚) = ((𝐹𝑡)‘𝑛))
102101mpteq2dv 5206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)))
103102fveq2d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
104 fvex 6853 . . . . . . . . . . 11 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105103, 3, 104fvmpt 6946 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐼 → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
107100, 106breqtrrd 5132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1086, 7, 107, 22climrecl 15462 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
109108ralrimiva 3142 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
110 ffnfv 7063 . . . . . 6 (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ))
1115, 109, 110sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝐼⟶ℝ)
112 reex 11139 . . . . . 6 ℝ ∈ V
113 elmapg 8775 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114112, 25, 113sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115111, 114mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
116115, 16eleqtrrdi 2849 . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
117 1nn 12161 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
11825ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
11915adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
120116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
12116rrnmval 36276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
122118, 119, 120, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
123 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124123sumeq1d 15583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2))
125 sum0 15603 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0
126124, 125eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0)
127126fveq2d 6844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)) = (√‘0))
128122, 127eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘0))
129 sqrt0 15123 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
130128, 129eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = 0)
131 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpgt0d 12957 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133130, 132eqbrtrd 5126 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
134133ralrimiva 3142 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
135 fveq2 6840 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = (ℤ‘1))
136135, 6eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = ℕ)
137136raleqdv 3312 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
138137rspcev 3580 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
139117, 134, 138sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
140139expr 457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
141 1zzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
14425adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145 hashnncl 14263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147143, 146mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
148147nnrpd 12952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
149148rpsqrtcld 15293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150142, 149rpdivcld 12971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
15212adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
153107adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1546, 141, 151, 152, 153climi2 15390 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
155 1z 12530 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
1566rexuz3 15230 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
157155, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
15821adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159108adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
16144remetdval 24148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
162158, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
163162breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
16439, 163sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
165164anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
166165ralbidva 3171 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
167166rexbidva 3172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
168157, 167bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
169154, 168mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
170169ralrimiva 3142 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
1716rexuz3 15230 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
172155, 171ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
173 rexfiuz 15229 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
174144, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
175172, 174bitrid 282 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
176170, 175mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
17725ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179 eldifsn 4746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180177, 178, 179sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
18114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182181ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
183116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
184150adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
18516, 44rrndstprj2 36279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))))
186185expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
187180, 182, 183, 184, 186syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
188 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189188rpcnd 12956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191190rpcnd 12956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
192190rpne0d 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
193189, 191, 192divcan1d 11929 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑥)
194193breq2d 5116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
195187, 194sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
19639, 195sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
197196anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
198197ralimdva 3163 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
199198reximdva 3164 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
200176, 199mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
201200expr 457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
202140, 201pm2.61dne 3030 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
203202ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
204 rrncms.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
205204, 29, 6, 30, 31, 14lmmbrf 24622 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206116, 203, 205mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
207 releldm 5898 . 2 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2081, 206, 207sylancr 587 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  cdif 3906  c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104  cmpt 5187   × cxp 5630  dom cdm 5632  cres 5634  ccom 5636  Rel wrel 5637   Fn wfn 6489  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  m cmap 8762  Fincfn 8880  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   · cmul 11053   < clt 11186  cle 11187  cmin 11382   / cdiv 11809  cn 12150  2c2 12205  cz 12496  cuz 12760  +crp 12912  cexp 13964  chash 14227  csqrt 15115  abscabs 15116  cli 15363  Σcsu 15567  ∞Metcxmet 20777  Metcmet 20778  MetOpencmopn 20782  𝑡clm 22573  Cauccau 24613  ncrrn 36273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ico 13267  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-seq 13904  df-exp 13965  df-hash 14228  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-limsup 15350  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-topgen 17322  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-top 22239  df-topon 22256  df-bases 22292  df-lm 22576  df-cau 24616  df-rrn 36274
This theorem is referenced by:  rrncms  36281
  Copyright terms: Public domain W3C validator