Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncmslem 35109
Description: Lemma for rrncms 35110. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
rrncms.4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
rrncms.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
rrncmslem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 21837 . 2 Rel (⇝𝑡𝐽)
2 fvex 6682 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
42, 3fnmpti 6490 . . . . . . 7 𝑃 Fn 𝐼
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑃 Fn 𝐼)
6 nnuz 12280 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑘))
98fveq1d 6671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
10 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))
11 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
1312adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
14 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1514ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
16 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1715, 16eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18 elmapi 8427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2120an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2213, 21eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
2322recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
25 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2616rrnmet 35106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28 metxmet 22943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30 1zzd 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
32 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
336, 29, 30, 31, 32, 14iscauf 23882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥))
3424, 33mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3534adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝐼)
3814ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39 eluznn 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
42 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
4338, 42ffvelrnd 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
44 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4516, 44rrndstprj1 35107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛𝐼) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4636, 37, 41, 43, 45syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4727ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48 metsym 22959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
4947, 41, 43, 48syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5046, 49breqtrd 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5150adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5244remet 23397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑛𝐼))
5554, 40, 21syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
5614ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5756, 16eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58 elmapi 8427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6160an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6261adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63 metcl 22941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6453, 55, 62, 63syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6564adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66 metcl 22941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6747, 43, 41, 66syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6867adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 rpre 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72 lelttr 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7365, 68, 71, 72syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7451, 73mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7574ralimdva 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7675reximdva 3274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7776ralimdva 3177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7844remetdval 23396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
7955, 62, 78syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8040, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
81 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑗 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
83 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ V
8482, 10, 83fvmpt 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8584ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8680, 85oveq12d 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛)))
8786fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8879, 87eqtr4d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
8988breq1d 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9089ralbidva 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9190rexbidva 3296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9291ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9377, 92sylibd 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9435, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95 nnex 11643 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
9695mptex 6985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
986, 23, 94, 97caucvg 15034 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99 climdm 14910 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
10098, 99sylib 220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
101 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑡)‘𝑚) = ((𝐹𝑡)‘𝑛))
102101mpteq2dv 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)))
103102fveq2d 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
104 fvex 6682 . . . . . . . . . . 11 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105103, 3, 104fvmpt 6767 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐼 → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
106105adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
107100, 106breqtrrd 5093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1086, 7, 107, 22climrecl 14939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
109108ralrimiva 3182 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
110 ffnfv 6881 . . . . . 6 (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ))
1115, 109, 110sylanbrc 585 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝐼⟶ℝ)
112 reex 10627 . . . . . 6 ℝ ∈ V
113 elmapg 8418 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114112, 25, 113sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115111, 114mpbird 259 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
116115, 16eleqtrrdi 2924 . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
117 1nn 11648 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
11825ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
11915adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
120116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
12116rrnmval 35105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
122118, 119, 120, 121syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
123 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124123sumeq1d 15057 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2))
125 sum0 15077 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0
126124, 125syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0)
127126fveq2d 6673 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)) = (√‘0))
128122, 127eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘0))
129 sqrt0 14600 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
130128, 129syl6eq 2872 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = 0)
131 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpgt0d 12433 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133130, 132eqbrtrd 5087 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
134133ralrimiva 3182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
135 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = (ℤ‘1))
136135, 6syl6eqr 2874 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = ℕ)
137136raleqdv 3415 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
138137rspcev 3622 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
139117, 134, 138sylancr 589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
140139expr 459 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
141 1zzd 12012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
14425adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145 hashnncl 13726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147143, 146mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
148147nnrpd 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
149148rpsqrtcld 14770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150142, 149rpdivcld 12447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151150adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
15212adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
153107adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1546, 141, 151, 152, 153climi2 14867 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
155 1z 12011 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
1566rexuz3 14707 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
157155, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
15821adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159108adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
160159adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
16144remetdval 23396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
162158, 160, 161syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
163162breq1d 5075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
16439, 163sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
165164anassrs 470 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
166165ralbidva 3196 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
167166rexbidva 3296 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
168157, 167syl5bbr 287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
169154, 168mpbird 259 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
170169ralrimiva 3182 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
1716rexuz3 14707 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
172155, 171ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
173 rexfiuz 14706 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
174144, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
175172, 174syl5bb 285 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
176170, 175mpbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
17725ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179 eldifsn 4718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180177, 178, 179sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
18114adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182181ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
183116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
184150adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
18516, 44rrndstprj2 35108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))))
186185expr 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
187180, 182, 183, 184, 186syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
188 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189188rpcnd 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190149adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191190rpcnd 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
192190rpne0d 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
193189, 191, 192divcan1d 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑥)
194193breq2d 5077 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
195187, 194sylibd 241 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
19639, 195sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
197196anassrs 470 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
198197ralimdva 3177 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
199198reximdva 3274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
200176, 199mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
201200expr 459 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
202140, 201pm2.61dne 3103 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
203202ralrimiva 3182 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
204 rrncms.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
205204, 29, 6, 30, 31, 14lmmbrf 23864 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206116, 203, 205mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
207 releldm 5813 . 2 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2081, 206, 207sylancr 589 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3494  cdif 3932  c0 4290  {csn 4566   class class class wbr 5065  cmpt 5145   × cxp 5552  dom cdm 5554  cres 5556  ccom 5558  Rel wrel 5559   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  m cmap 8405  Fincfn 8508  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11691  cz 11980  cuz 12242  +crp 12388  cexp 13428  chash 13689  csqrt 14591  abscabs 14592  cli 14840  Σcsu 15041  ∞Metcxmet 20529  Metcmet 20530  MetOpencmopn 20534  𝑡clm 21833  Cauccau 23855  ncrrn 35102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-lm 21836  df-cau 23858  df-rrn 35103
This theorem is referenced by:  rrncms  35110
  Copyright terms: Public domain W3C validator