Theorem rrncmslem 37792

Description: Lemma for rrncms 37793. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
rrncms.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
rrncms.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
rrncmslem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmrel 23259	. 2 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
2		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3		rrncms.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))))
4	2, 3	fnmpti 6723	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 Fn 𝐼
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn 𝐼)
6		nnuz 12946	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑘))
9	8	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
10		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))
11		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 7029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
14		rrncms.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
15	14	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
16		rrnval.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	15, 16	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18		elmapi 8907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹‘𝑘):𝐼⟶ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘):𝐼⟶ℝ)
20	19	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
21	20	an32s 651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
22	13, 21	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24		rrncms.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
25		rrncms.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26	16	rrnmet 37789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28		metxmet 24365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℝn‘𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
33	6, 29, 30, 31, 32, 14	iscauf 25333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
34	24, 33	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
36	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝐼)
38	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39		eluznn 12983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	38, 40	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
42		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
43	38, 42	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
44		rrndstprj1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
45	16, 44	rrndstprj1 37790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)))
46	36, 37, 41, 43, 45	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)))
47	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48		metsym 24381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
49	47, 41, 43, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
50	46, 49	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
51	50	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
52	44	remet 24831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼))
55	54, 40, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
56	14	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
57	56, 16	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58		elmapi 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹‘𝑗):𝐼⟶ℝ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗):𝐼⟶ℝ)
60	59	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
61	60	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
64	53, 55, 62, 63	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
65	64	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
67	47, 43, 41, 66	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
68	67	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
69		rpre 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
71	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72		lelttr 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
73	65, 68, 71, 72	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
74	51, 73	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
75	74	ralimdva 3173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
76	75	reximdva 3174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
77	76	ralimdva 3173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
78	44	remetdval 24830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
79	55, 62, 78	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
80	40, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
81		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑗 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑗))
82	81	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
83		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ V
84	82, 10, 83	fvmpt 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
85	84	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
86	80, 85	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛)))
87	86	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
88	79, 87	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
89	88	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
90	89	ralbidva 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
91	90	rexbidva 3183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
92	91	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
93	77, 92	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
94	35, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95		nnex 12299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
96	95	mptex 7260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
98	6, 23, 94, 97	caucvg 15727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99		climdm 15600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
100	98, 99	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
101		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))
102	101	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)))
103	102	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
104		fvex 6933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105	103, 3, 104	fvmpt 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → (𝑃‘𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
106	105	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
107	100, 106	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃‘𝑛))
108	6, 7, 107, 22	climrecl 15629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
109	108	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
110		ffnfv 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ))
111	5, 109, 110	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℝ)
112		reex 11275	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
113		elmapg 8897	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114	112, 25, 113	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115	111, 114	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
116	115, 16	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
117		1nn 12304	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
118	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
119	15	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
120	116	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑋)
121	16	rrnmval 37788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)))
122	118, 119, 120, 121	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)))
123		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124	123	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2))
125		sum0 15769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = 0
126	124, 125	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = 0)
127	126	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)) = (√‘0))
128	122, 127	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘0))
129		sqrt0 15290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
130	128, 129	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = 0)
131		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132	131	rpgt0d 13102	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133	130, 132	eqbrtrd 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
134	133	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
135		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘1))
136	135, 6	eqtr4di 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (ℤ≥‘𝑗) = ℕ)
137	136	raleqdv 3334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
138	137	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
139	117, 134, 138	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
140	139	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
141		1zzd 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
144	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145		hashnncl 14415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147	143, 146	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
148	147	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
149	148	rpsqrtcld 15460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150	142, 149	rpdivcld 13116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
152	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
153	107	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃‘𝑛))
154	6, 141, 151, 152, 153	climi2 15557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
155		1z 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
156	6	rexuz3 15397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
157	155, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
158	21	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159	108	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
161	44	remetdval 24830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))))
162	158, 160, 161	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))))
163	162	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
164	39, 163	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
165	164	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
166	165	ralbidva 3182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
167	166	rexbidva 3183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
168	157, 167	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
169	154, 168	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
170	169	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
171	6	rexuz3 15397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
172	155, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
173		rexfiuz 15396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
174	144, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
175	172, 174	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
176	170, 175	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
177	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180	177, 178, 179	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
181	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182	181	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
183	116	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑋)
184	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
185	16, 44	rrndstprj2 37791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))))
186	185	expr 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
187	180, 182, 183, 184, 186	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
188		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189	188	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191	190	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
192	190	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
193	189, 191, 192	divcan1d 12071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑥)
194	193	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
195	187, 194	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
196	39, 195	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
197	196	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
198	197	ralimdva 3173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
199	198	reximdva 3174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
200	176, 199	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
201	200	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
202	140, 201	pm2.61dne 3034	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
203	202	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
204		rrncms.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
205	204, 29, 6, 30, 31, 14	lmmbrf 25315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206	116, 203, 205	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
207		releldm 5969	. 2 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
208	1, 206, 207	sylancr 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  Rel wrel 5705   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  √csqrt 15282  abscabs 15283   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  MetOpencmopn 21377  ⇝_𝑡clm 23255  Cauccau 25306  ℝⁿcrrn 37785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-lm 23258  df-cau 25309  df-rrn 37786

This theorem is referenced by:  rrncms  37793