Theorem rrncmslem 35990

Description: Lemma for rrncms 35991. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
rrncms.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
rrncms.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
rrncmslem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmrel 22381	. 2 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
2		fvex 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3		rrncms.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))))
4	2, 3	fnmpti 6576	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 Fn 𝐼
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn 𝐼)
6		nnuz 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑘))
9	8	fveq1d 6776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
10		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))
11		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
14		rrncms.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
15	14	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
16		rrnval.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	15, 16	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹‘𝑘):𝐼⟶ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘):𝐼⟶ℝ)
20	19	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
21	20	an32s 649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
22	13, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24		rrncms.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
25		rrncms.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26	16	rrnmet 35987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28		metxmet 23487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℝn‘𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
33	6, 29, 30, 31, 32, 14	iscauf 24444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
34	24, 33	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
36	25	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝐼)
38	14	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39		eluznn 12658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	38, 40	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
42		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
43	38, 42	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
44		rrndstprj1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
45	16, 44	rrndstprj1 35988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)))
46	36, 37, 41, 43, 45	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)))
47	27	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48		metsym 23503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
49	47, 41, 43, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
50	46, 49	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
51	50	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)))
52	44	remet 23953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼))
55	54, 40, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
56	14	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
57	56, 16	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝐹‘𝑗):𝐼⟶ℝ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗):𝐼⟶ℝ)
60	59	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
61	60	an32s 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63		metcl 23485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
64	53, 55, 62, 63	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
65	64	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66		metcl 23485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
67	47, 43, 41, 66	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
68	67	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
69		rpre 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
71	70	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
73	65, 68, 71, 72	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
74	51, 73	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
75	74	ralimdva 3108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
76	75	reximdva 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
77	76	ralimdva 3108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
78	44	remetdval 23952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
79	55, 62, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
80	40, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
81		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑗 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑗))
82	81	fveq1d 6776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
83		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑗)‘𝑛) ∈ V
84	82, 10, 83	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
85	84	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))
86	80, 85	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛)))
87	86	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − ((𝐹‘𝑗)‘𝑛))))
88	79, 87	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
89	88	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
90	89	ralbidva 3111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
91	90	rexbidva 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
92	91	ralbidv 3112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹‘𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
93	77, 92	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)(ℝn‘𝐼)(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
94	35, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95		nnex 11979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
96	95	mptex 7099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
98	6, 23, 94, 97	caucvg 15390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99		climdm 15263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
100	98, 99	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
101		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑡)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))
102	101	mpteq2dv 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)))
103	102	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
104		fvex 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105	103, 3, 104	fvmpt 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → (𝑃‘𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))))
107	100, 106	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃‘𝑛))
108	6, 7, 107, 22	climrecl 15292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
109	108	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
110		ffnfv 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ))
111	5, 109, 110	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℝ)
112		reex 10962	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
113		elmapg 8628	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114	112, 25, 113	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115	111, 114	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
116	115, 16	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
117		1nn 11984	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
118	25	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
119	15	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
120	116	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑋)
121	16	rrnmval 35986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)))
122	118, 119, 120, 121	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)))
123		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124	123	sumeq1d 15413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2))
125		sum0 15433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = 0
126	124, 125	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2) = 0)
127	126	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦 ∈ 𝐼 ((((𝐹‘𝑘)‘𝑦) − (𝑃‘𝑦))↑2)) = (√‘0))
128	122, 127	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = (√‘0))
129		sqrt0 14953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
130	128, 129	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) = 0)
131		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132	131	rpgt0d 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133	130, 132	eqbrtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
134	133	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
135		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘1))
136	135, 6	eqtr4di 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (ℤ≥‘𝑗) = ℕ)
137	136	raleqdv 3348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
138	137	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
139	117, 134, 138	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
140	139	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
141		1zzd 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
144	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145		hashnncl 14081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147	143, 146	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
148	147	nnrpd 12770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
149	148	rpsqrtcld 15123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150	142, 149	rpdivcld 12789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
152	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑛))
153	107	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃‘𝑛))
154	6, 141, 151, 152, 153	climi2 15220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
155		1z 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
156	6	rexuz3 15060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
157	155, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
158	21	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159	108	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ)
161	44	remetdval 23952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))))
162	158, 160, 161	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))))
163	162	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
164	39, 163	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
165	164	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
166	165	ralbidva 3111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
167	166	rexbidva 3225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
168	157, 167	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑛) − (𝑃‘𝑛))) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
169	154, 168	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
170	169	ralrimiva 3103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
171	6	rexuz3 15060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
172	155, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
173		rexfiuz 15059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
174	144, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
175	172, 174	syl5bb 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼)))))
176	170, 175	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))
177	25	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180	177, 178, 179	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
181	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182	181	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
183	116	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑋)
184	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
185	16, 44	rrndstprj2 35989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))))
186	185	expr 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
187	180, 182, 183, 184, 186	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
188		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189	188	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191	190	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
192	190	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
193	189, 191, 192	divcan1d 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑥)
194	193	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) ↔ ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
195	187, 194	sylibd 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
196	39, 195	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
197	196	anassrs 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
198	197	ralimdva 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
199	198	reximdva 3203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃‘𝑛)) < (𝑥 / (√‘(♯‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
200	176, 199	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
201	200	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥))
202	140, 201	pm2.61dne 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
203	202	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)
204		rrncms.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
205	204, 29, 6, 30, 31, 14	lmmbrf 24426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)(ℝn‘𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206	116, 203, 205	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
207		releldm 5853	. 2 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
208	1, 206, 207	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  Rel wrel 5594   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782  ♯chash 14044  √csqrt 14944  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  MetOpencmopn 20587  ⇝_𝑡clm 22377  Cauccau 24417  ℝⁿcrrn 35983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-lm 22380  df-cau 24420  df-rrn 35984

This theorem is referenced by:  rrncms  35991